高中数学竞赛题之平面几何.docx

PAGE PAGE 1 高中数学竞赛题之平面几何 第一讲 留意添加平行线证题  在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是学校平面几何最基本的,也是格外重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简约.  添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了转变角的位置  大家晓得,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些  性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置转变,以满足求解的需要.  例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .  在△DBP ＝∠AQC 中,明显  ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C .  由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .  则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .  这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.  例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .  由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC .  ∥＝  A  D  B  P Q  图1  P E D G A B F  C  图2  明显,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .  有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .  这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很奇妙. 2 欲“送”线段到当处  利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.  例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂  线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .  证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .  由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 明显,  PD EP ＝FD EF ＝GD  CG  ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .  这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法格外简捷.  3 为了线段比的转化  由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.  例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、  A  N  E B Q  K  G C  D M F  P 图3  AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：  AP AB ＋AQ  AC  ＝11AN AM ＋22AN AM .  证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E .  由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E ,