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PAGE PAGE 1 高中数学竞赛赛题(带答案) 高中数学竞赛赛题精选  一、选择题（共12题）  1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］   B ．［m-1,n-1］  C ．［)1(),1(--n f m f ］   D ．无法确定  解：当函数的图像左右平移时，不转变函数的值域.故应选A.  2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-39  2  1a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-39  2  n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.  3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．  A ．1  B ．2  C ．3  D ．4  解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，争辩其交点情况可知共有3组解．应选C ．  4．已知关于x 的一元二次方程()  02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（  ）  Ａ．110的解集为  A ．[2，3)  B ．(2，3]  C ．[2，4)  D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －13  2t －2．t ∈[1，2)，  x ∈[2，4)，选C ．  10．设点O 在  ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )  A ．2  B ．32  C ．3  D ．5  3  解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，  AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．  11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，  则这样的三位数n 有( )  A ．45个  B ．81个  C ．165个  D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；  ⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b 即可取156+9=165种数．选C ．  12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )  A ．  53 B ．253 C ．63 D ．263  解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．  OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，  又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．  而  OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．  当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．  又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =1  2  V B －AOP ，  S B 1  1  O  A  B  C  A  B  P  O H C  而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB  2(PO 2  =PH ·PB )．  记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则  V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124  R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2  =23+cos2．V