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不定积分的概念及其性质演示文稿 第一页，共三十九页。 （优选）不定积分的概念及其性质 第二页，共三十九页。 微积分产生的原因: 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度； 2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向； 3. 求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题； 4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。 第三页，共三十九页。 一元函数积分学基本问题 由此引出原函数与不定积分的概念； 2. 计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。 由此引出定积分的概念。 第四页，共三十九页。 定积分 不定积分 Newton Leibnize 公式(17世纪) 一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。 原函数的存在性又可以由定积分决定。 第五页，共三十九页。 §1 不定积分的概念及其性质 原函数及不定积分 不定积分的几何意义； 基本积分表； 不定积分的性质。 第六页，共三十九页。 一. 原函数(primitive function)与不定积分 定义： 第七页，共三十九页。 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一,它们之间有什么联系？ 第八页，共三十九页。 定理： 证明： 再证它是全部原函数。 第九页，共三十九页。 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 第十页，共三十九页。 原函数存在定理： 连续函数一定有原函数. 第十一页，共三十九页。 例1 求 解 解 例2 求 第十二页，共三十九页。 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 二. 不定积分的几何意义 第十三页，共三十九页。 解： 第十四页，共三十九页。 简单的初值问题(initial problem)： 第十五页，共三十九页。 三. 基本积分表 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 第十六页，共三十九页。 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 第十七页，共三十九页。 基本积分表 ? 是常数); 说明： 第十八页，共三十九页。 第十九页，共三十九页。 第二十页，共三十九页。 例 求积分 解 根据积分公式（2） 第二十一页，共三十九页。 积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。 由导数的运算法则，可得积分的运算法则. 第二十二页，共三十九页。 四. 不定积分的性质 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 证明： 由条件 第二十三页，共三十九页。 证明： 由条件 第二十四页，共三十九页。 Nove. 13 Wed. Review 1. 原函数与不定积分的概念： 3. 不定积分与微分的关系： 2. 几何意义： 第二十五页，共三十九页。 4. 基本积分表； 5. 不定积分的性质： 第二十六页，共三十九页。 解： 第二十七页，共三十九页。 解： 第二十八页，共三十九页。 *