自动控制理论课件：4第四章 根轨迹法.ppt

第四章 线性系统的根轨迹分析 §4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 3 绘制根轨迹的基本规则 规则一：根轨迹连续且对称于实轴 规则二：根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点或无穷远处 规则三：实轴上某一点如果在根轨迹上，那麽在它右边的零、极点总数应为奇数个 规则四：无穷远处根轨迹渐进线与实轴的夹角计算公式 规则五：无穷远处根轨迹渐进线与实轴的交点计算公式 规则六：根轨迹的会合点与分离点满足 规则七：根轨迹的出（入）射角用下式求得 规则八：根轨迹与虚轴的交点 采用Roth判据或者用S= ? jω代入特征方程，令实部为零，求出 K1 代入虚部得ω 4. 绘制根轨迹的一般步骤 第1步：确认开环系统特性：零z、极点p及其总个数m，n，在根轨迹平面上分别标出 第2步：根据规则二判断出：根轨迹m条由极点指向零点，n-m条由极点指向无穷远处 根据规则三判断出：实轴上存在根轨迹上的线段 第3步：根据规则四确定n-m条渐进线的相角 根据规则五确定出n-m条渐进线与实轴的交点 第4步：由规则六确定出根轨迹与实轴的分离点，从该点对称地离开实轴 第5步：由规则七确定根轨迹的极点出射角和零点入射角 第6步：根据规则八确定根轨迹与虚轴的交点 第7步：根据规则一的连续性和对称性，先画出实轴以上的根轨迹，再对称画负虚部即可。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 系统闭环极点如果全部处在S平面的左半面，则系统稳定（绝对稳定） 设某高阶系统有一对共轭闭环极点 s i = -ζwn ±jwd 它对应的阶跃响应分量为： 各参数之间关系如图 如果： Re(s i )= -ζwn 0,当t→∞时 该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。 4-5 利用根轨迹分析系统的性能 极点在虚轴上（临界状态），其实部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡, 极点离实轴越远，wd越大，振荡频率越大 极点在负实轴上， wd =0,该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调） 极点离实轴越远， wd 越大，振荡频率越大 极点离虚轴越远，|- ζwn |越大，衰减越快，反之，极点离虚轴近，|- ζwn |小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。 极点在左半平面但不在负实轴上， wd ≠0,该极点对应的阶跃响应分量会振荡, 因为 - ζwn 0,振荡幅值随时间衰减,当t → ∞ 时该分量将趋于零 从原点画射线与根轨迹相交， 该射线与负实轴夹角β=60° 从图上得交点坐标 设计的问题 由幅值条件得： -2.3 -1.25 jw s 0 -3 -j -1 j 例如：已知 根轨迹，若要求系统有ζ =0.5的一对闭环极点，求闭环极点的位置及相应的K1的大小。 主导极点的定义及使用 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且，该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点 上述两个极点是否是系统的主导极点？ 为此，应求出另两个极点再作判断。 现已知系统的有两个闭环特征根和此时的K1： 可求出另两个闭环特征根： 已知系统的闭环特征方程是： S1、S2不是系统的主导极点。 S1、S2是否是主导极点？ 与另外两个根进行比较一下 若S1、S2是系统的主导极点，则可以将系统近似为闭环极点为S1、S2的二阶系统，并估计出系统的阶跃响应性能。 注意！上述定义主导极点时提到: “极点附近没有零点”的条件，到底零点对系统的性能有什麽影响？实际上，系统的性能应当由零极点共同决定，分析如下： 零极点抵消 当z j=pi时，零极点相消，该极点将不起作用。此时的零极点对称为偶极子 零极点没有相消，但如果零点很靠近极点，它将影响该响应分量的系数，即，影响该极点所决定的阶跃响应分量的初始值的大小。靠得越近，影响越大。 开环传递函数上增加零点 提高了系统的相对稳定性 渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加 根轨迹向左方向弯曲 渐近线与实轴交点随着zc增大（zc点在实轴上向右移）而左移 增加一个零点的情况 右移零点 开环传递函数上附加极点 降低了系统的相对稳定性 渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小 根轨迹向右方向弯曲 渐近线与实轴交点随着pc增大（pc 点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。 向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧