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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 试求: ①当K=10时,该系统是否存在自持振荡,如果存在则求出自持振荡的振幅和频率; ②当K为何值时,系统处于稳定边界状态。 非线性饱和特性参数 a=1 、k=2 例 相交于稳定自振交点m X=a时 X?∞ 时 ?负倒描述函数轨迹=实轴上(-1, -∞)。 m:-3.32 X=4.38 稳定自振交点m: 临界状态下,轨迹在负实轴上的交点n 改善非线性系统的性能 !改变G(j ?) !改变N(X) K ①试分析系统稳定性; ②如果系统出现自持振荡,如何消除之? K=20,死区继电器特性M=3,a=l。 X=a=1 X ?∞ G(j?)轨迹与负倒描述函数有两个交点: a——不稳定自振交点 b——稳定自振交点 Kn=M/a=3 a——不稳定自振交点 b——稳定自振交点 X1=1.11 X2=2.3 如要求稳定? 1)改变G(j ?)——调整K K 2)改变N(X):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M 取a=1、M=2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 三、用相轨迹分析非线性系统 例7-3-5 含有继电器特性的非线性系统,a=0.2,m=0.5,M=0.2,K=5。画出相轨迹 解:线性部分为 r-c=e 令: 在I区内: 在II区内: 在III区内: 减小线性部分的增益K可消除系统的自持震荡 1 减小线性部分增益K,当K=2时 2 减小继电器特性输出幅值M 3 增大继电器特性的死区宽度参数a 4 增大继电器特性回环宽度参数m 可消除系统的自持震荡 这时死区和回环均不存在,成为理想的继电特性了。非线性系统的相轨迹将经过无限多次周期衰减振荡,最后收敛到相平面的原点。 当给定的初始值较小时, 相轨迹向外发散,最终发散到极限环。若初始状态 x(t)比较大,则相轨迹向内收敛,最终收敛到极限环。 当继电特性没有死区,只有回环时,无论怎样减小K、M或增大a值均不能消除自持震荡。 继电特性没有死区,只有回环时 输出 输入 系统开环部分可分离为: 非线性环节N(x) 、线性部分G(s) 假定: 非线性环节特性是斜对称的; 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 正弦信号输入时,输出不含直流分量。 N(x) §7-4 非线性系统的一种线性近似表示 ——描述函数 斜对称 输出的一次谐波分量 N(x) !类似传递函数 !谐波线性化方法 非线性系统的频率特性法 描述函数法的定义是: 输入为正弦函数时,输出的基波分量与输入正弦量的复数比。 描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数 由非线性环节描述函数的定义可以看出: (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性,利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件,因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。 (1)饱和特性的描述函数 §7-5 典型非线性特性的描述函数 描述函数 实用上,常将描述函数表示为X/a的函数并将其中与线性部分增益有相同作用的常数分离出来,于是有 相对描述函数 对于饱和特性 负倒相对描述函数 (2) 死区特性: 奇函数的A1=0 死区特性的相对描述函数为: 死区特性的负倒幅相特性 X/a (-1,j0) -1/N0(X/a)平面 Re Im (3)、间隙特性 (-1,j0) Kn=k 死区特性的负倒幅相特性 理想继电器特性 Kn=M/a 四、继电特性 ∞ X/a 死区特性的负倒幅相特性 死区继电器特性 Kn=M/a X/a ∞ X/a 死区特性的负倒幅相特性 回环继电器特性 Kn=M/a 死区特性的负倒幅相特性 ∞ X/a (尼奎斯特判据)若开环稳定,则闭环稳定的充要条件是G(j?) 轨迹不包围 (-1,j0)。 负倒描述函数(描述函数负倒特性) 线性系统 §7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 (-1,j0) ? 设:系统开环的线性部分G(j?)稳定 ① G(j?)不包围负倒描述函数 ?闭环系统稳定 ② G(j?)包围负倒描述函数 ?闭环系统不稳定 一、非线性系统稳定性的判定方法 ③ G(j?) 与负倒描述函数相交 ?闭环系统出现自持振
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