例说求圆锥曲线离心率范围的思考方法.docxVIP

例说求圆碓曲线青心率花圈的思考方法 圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线中以参变量 的形式出现，确定它的取值范围，就是根据问题给出的条件，建立起几个有关的字母的不等式, 同归解不等式到达解决问题的目的，下面介绍确定曲线离心率的几种思考方式. 1利用圆锥曲线的定义22 例1设。是椭圆二十==1（4〉人〉0）上一点,且/《。鸟=90°淇中耳,鸟是椭圆的 a b~两个焦点，求椭圆的离心率的范围. 解 由椭圆的定义得|P4| 十 |P段=2〃， ，闻2 +|帆「=|耳闾2 =402,.,.|尸耳卜|尸国=2（ -2）, |尸娟是方程/ —2〃〃 + 2（ 一°2）=。的两个根,因此有C1 △ = -44 +8, o,A A = (-)2 2 —,即 e 二 a 2 故所求离心率范围是e =￡ [―J). 222 例2双曲线「-与=1的左、右焦点为，工，左准线/,P是双曲线左支上一点, x b并且有 并且有|P用是尸到/的距离d与俨鸟 并且有|P 并且有|P用是尸到/的距离d与俨鸟 的比例中项，求双曲线离心率的取值范围. 解由条件可得PF1PF、d, 解由条件可得 PF1 PF、d ,??? PF2\ = e\PF{\? 又???|P局TP耳卜2a②,由①、②解得|P耳「 2a 2ea 在八尸耳耳中,有归图+|尸闾.耳闾= 2c,又： 故所求离心率范围是e e （1,1 + V2]. 例1,例2是利用椭圆、双曲线的定义建立起与e有关的一个等式,再利用条件或隐 含条件确定一个不等式，从而求出e的范围. 2利用曲线的范围22 例3椭圆。：\ +==1（。〉/?〉0）的长轴两端点是A5,假设C上存在点P,且 a 6/APB = 120°，求椭圆C的离心率的取值范围. 解 根据椭圆的对称性,不妨设P（x0, y0）的坐标满足0 W / 。,0 % W人，又设点P 在长轴上的射影为“，那么 tan /APH =* Jan ZBPH =伫E . X)a + xQ X) a + xQ + a - 4 2仪 ① + Vn -6Z2 ：.tan /APB = tan(ZAPH + AB PH) 二 %,1- - 因点尸在C上, 因点尸在C上,b2xl+a2yl=a2b\^x^ = 力（尸一靖 b2 又 tan /APB = tan 120° = — J5③ \0F\\ddx \0F\\ddx\ \BF\\BD\ 个端点,线段BF的延长线交。于点。，且乔=2FD,那么C的离心率为 【解析】如图,[8尸|=由工=。,作。，_1_〉轴于点口1,那么由而=2而，得=—，所以I DDI\=-\OF |= — j即/=,，由椭圆的第二定义得 3 TOC \o 1-5 \h \z ,广? “3c、3c之 \o Current Document I FD\= e(=c22a 3c2 又由|B尸|=2|在。|,得。=2。,a 整理得二二，，即 e2=-.:.e = — a1 333 将②,③代入①,整理得先 =lab2???为（匕，故 将②,③代入①,整理得先 = lab2 ???为（匕，故 2ab2 b, g,又〈eel, g,又〈eel,从而可得瓜2 + 2ab - y/3a2 0,解得- g,又〈eel, .”=(与2=±￡ = 1_昌2 加一9a aa 3 故C的离心率范围是ec[Y5,l）. 例4 一组椭圆的长轴长均为8,都以y轴为左准线,且椭圆的左顶点都在抛物线 丁 二工-2上,求这些椭圆中离心率的变化范围. 解 设椭圆中心为（公,%）,那么椭圆方程为（X 解 设椭圆中心为（公,%）,那么椭圆方程为 （X一工0）2 ?（一乂））2 16 ...椭圆的离心率为，椭圆的左准线％ =玉- b2 a2 16,16- 16 ,16-/， 164 J16-〃, 由得椭圆的左准线X = 0, /— c 又设椭圆的左顶点为（％, y），那么％ = x0 - 4 = TOC \o 1-5 \h \z .16 ???左顶点在抛物线丁 = % — 2上,??? x — 2 2 0,即, 6,V16-/?2 ./--t 8 ??J16-〃 . 八 2 ? ? a/16 — b ? ―, ? c -,. ? 0 e ? —. 343 例3,例4是利用椭圆双曲线的范围建立相应的不等式，通过解不等式求出e的取值范围. 3利用两曲线的交点特征. 22例5设椭圆二十==1（〃〉匕〉0）上有点P（%,y）,使NOP4 = 90°,其中A为椭圆 a o 的右顶点，。为坐标原点，求椭圆离心率的取值范围. 解??? ZOPA = 90°, J O, P, A三点确定的圆的方程为九；+犬一师二。① 又点 P（斗，y）在椭圆上,，h2xf+a2yf =