概率论与数理统计第一章04 第四节 条件概率.docxVIP

第四节条件概率 教学目的理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学重点 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点 条件概率的概念的理解，乘法公式，全概率公式以及贝叶斯公式的应用。 教学内容 一、条件概率的概念 引例一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： \ r别 数量\ 甲厂 乙厂 合计 合格品 475 644 1119 次品 25 56 81 合计 500 700 1200 从这批产品中随意地取一件，那么这件产品为次品的概率为多少？ 当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？ 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率。如在事 件A发生的条件下，求事件B发生的条件概率，记作P(3|A)。 二、条件概率的定义 定义1设A3是两个事件，且P(A)0,那么称P P⑻ A)= P⑻ A)=P(A8)P⑷件A发生的条件下，事件5的条件 P⑻ A)= P(A8)P⑷ P(B | A) w P(B) o 性质 例1 一袋中装有10个球，其中3个黑球,7个白球，先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； (2)第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率. 注：(1)用维恩图表达⑴式.假设事件A已发生，那么为使B也发生，试验结果必须是既在A 中又在3中的样本点,即此点必属于.因A已发生，故A成为计算条件概率P(B\A)新 的样本空间. (2)计算条件概率有两种方法： a)在缩减的样本空间A中求事件8的概率，就得到P(3|A)；b)在样本空间S中，先求事件P(M)和尸(A),再按定义计算P(3| A)。 例2袋中有5个球，其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.第一次 取得红球时，求第二次取得白球的概率。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到： P(AB) = P(A)P(B | A) (P(A) 0)(2)注意到=及A,8的对称性可得到： P(AB) = P(3)P(A | B) (P(B) 0)(3)(2)和(3)式都称为乘法公式，利用它们可计算两个事件同时发生的概率. 例3 一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率。 分析：这一概率，我们曾用古典概型方法计算过，这里我们使用乘法公式来计算.在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构，这恰恰与乘法公式的形式相应，合理地利用问题 本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键. 例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,假设第一次落下未打 破，第二次落下打破的概率为7/10,假设前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在 不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理1设4，4,???，4，???是一个完备事件组,且2(4)0,，= 12…，那么对任一事件5,有pCB)= p(a)p(初 4)+…+尸(4)尸(为4)+… 注：全概率公式可用于计算较复杂事件的概率，公式指出：在复杂情况下直接计算P(5)不易时，可根据具体情况构造一组完备事件｛AJ ,使事件B发生的概率是各事件 4。= 12…)发生条件下引起事件3发生的概率的总和. 五、贝叶斯公式 利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求 得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式那么考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发 生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性。例如，有三个放有不同数量和 颜色的球的箱子，现从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率， 或问该球取自哪号箱的可能性最大？ 定理2设4,4,???,4,?..是一完备事件组，那么对任一事件B,有3 = J⑷尸⑻4) P(B) ￡P(A/)P(8|A/)J 注：公式中，p(4)和P(AI3)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(4)(，= 12…)是在没有进一步信息(不知道事件3是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知 道3发生)，人们对诸事件发生的概率p(a |为有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这 种变化.特别地，假设取〃 =2,并记A,那么4 = 1于是公式成为 尸⑷ B)=乌申= .(A)P(BIf) _ P(B)P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) , 例5人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基