大学文科数学-张国楚-定积分PPT课件.ppt

第六章 定积分;（一）教学目标;（二）教学重点;（三）教学难点、教学时数;（四）教学内容;1.1抽象定积分概念的两个现实原型;设质点 m 受力 F 的作用沿 x 轴由点a 移动至点b ,并设 F平行于 x 轴(图6.2). ;定义 设 f(x) 是定义在区间 [a,b] 上的有界函数,用点 将区间 [a,b] 任意分割成 n 个子区间 [xi-1,xi] (i=1,2, …,n)这些子区间及其长度均记作 △xi =xi -xi-1 (i=1,2, …,n). 在每个子区间 △xi 上任取一点 ,作 n 个乘积f( ) △xi 的和式;⑵在连续变力F (x) 作用下,质点m 沿x 轴从点 a 位移到点b 所作的功为F (x) 在[a,b] 上的定积分,即;定积分的几何意义;1.3求定积分过程中的辨证思维;1.4可积条件;定理3 （对积分区间的可加性）有界函数 f（x） 在[a，c]、[c，b] 上都可积的充要条件是 f（x） 在[a，b] 上可积，且;定理5 （有界性）设 m，M 分别是 f（x） 在[a，b] 上的最小值和最大值。 若f（x）在[a，b] 上可积，则 ; 定理6（定积分的绝对值不等式） 若f（x）在 [a，b]上可积，则 在 [a，b]上也可积，且 ;作业 必作题： 用定积分的定义计算 选作题： 习题6第一题。 思考题 定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？ ;定理1 若函数f（x）在 [a，b]上连续，则由变上限定积分定义的函数在 [a，b] 上可导，且; 也是f(x)的一个原函数,而这两个原函数之差为某个常数，所以 ;由于 是 的一个原函数,应用公式(6.7)有 ;2.1定积分的换元积分法和分部积分法; x=asint ，t∈[0， ]，则 dx=acostdt 当t 从 0 变到 时，x 从 0 递增到a ，故取 应用公式（6.8）,并注意到在第一象限中cost≥0, 则有 ;解 令 u=sint , 则 du=costdt. 当t 由0 变到 时, u从0 递增到1.应用换元公式(6.8)有;定理2（定积分分部积分法）若 u，v是[a，b] 上具有连续导数的函数，则;例5计算 ; 作业 必作题 习题6 第二题、第四题、第五题。 选作题 习题6第三题。 思考题 1、定积分的换元积分法中应注意的事项？ 2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？ ;定义：设函数f(x)定义在无穷区间[a,+∞]上，且在任何有限区间[a，A] 上可积，如果存在极限 则称此极限J为函数f（x）在[a,+∞] 上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作J=;无穷限积分的几何意义; 解 任取实数a ,讨论如下两个无穷限积分： ; 作业 选作题 习题六第六题。 思考题 检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法。 ;4.1微元法;并且 f（x）dx 就是总量Q的微元（即Q 的微分）dQ ，即dQ（x）=f（x）dx 其次，把总量Q 的微元dQ（x）=f（x）dx 在区间[a，b] 上求和，写出定积分，即求得所求的总量Q，即;4.2在几何学中的应用;平面图形的面积;例1 求由正弦曲线y=sinx 与直线 x=0，y=0及 x= 所围成图形的面积. ;例2 求抛物线 与直线x-2y-3=0所围的平面图形的面积.;由截面面积求立体体积; 它是薄片的体积 △V 的近似值,即△V ≈dV=A(x)dx ;例3 求椭圆 绕 x 轴旋转一周所形成的椭球的体积V.;4.3在物理学中的应用——变力作功;例4 根据虎克定律,弹簧的弹力与形变的长度成正比.已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm 需力14000N,求弹簧压缩2cm 时所作的功.;作业 必作题 习题六第七题、第八题第一小题。 选作题 第八题第二小题。 思考题