专题15 三角函数解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（解析版）.docxVIP

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编 专题15 三角函数解答题 三角函数解答题 一、解答题 1．(2022年全国乙卷理科·第17题)记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 解析：【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 由(1)得，由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为． 【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第17题 2．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 解析：(1)由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； (2)由正弦定理得：，则，则，． 【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题 3．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 解析：(1)因为，即， 而，所以； (2)由(1)知，，所以， 而， 所以，即有． 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题 【题目来源】2022新高考全国I卷·第18题 4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．． (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】解析:(1)因为，则，则，故，， ，所以，锐角，则， 因此，； (2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故． 【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用 【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题 5．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】解析： (1)由题设，，由正弦定理知：，即， ∴，又，∴，得证． (2)由题意知：， ∴，同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意；当时，； 综上，． 【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第19题 6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】解法一： 由可得：， 不妨设， 则：，即． 选择条件①的解析： 据此可得：，，此时． 选择条件②的解析： 据此可得：， 则：，此时：，则：． 选择条件③的解析： 可得，， 与条件矛盾，则问题中的三角形不存在． 解法二：∵, ∴, ， ∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,; 若选③,与条件矛盾． 【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题 【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第17题 7．(2020新高考II卷(海南卷)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】解析：解法一： 由可得：， 不妨设， 则：，即． 选择条件①的解析： 据此可得：，，此时． 选择条件②的解析： 据此可得：， 则：，此时：，则：． 选择条件③的解析： 可得，， 与条件矛盾，则问题中的三角形不存在． 解法二：∵, ∴, ， ∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,; 若选③,与条件矛盾． 【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用 【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第17题 8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． (1)求A； (2)若BC=3，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2)． 解析：(1)由正弦定理可得：， ， ， (2)由余弦定理得：， 即． (当且仅当时取等号)， ， 解得：(当且仅当时取等号)， 周长，周