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例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 1.3 函 数 的 极 限 1.3.1 数列的极限 邻域 OK! N找到了！！ nN 目的： NO, 有些点在条形域外面！ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 数列极限的演示 N 数列极限的演示 e 越来越小，N越来越大！ 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 数列极限的演示 数列极限的演示 ● ● 数列极限的演示 数列极限的演示 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 目标不惟一！！！！！！！！！！！！ 一、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 1.3.2 函数的极限 ● ● ● ● ● 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点 演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！ x趋于无穷大的演示 ● ● ● x ● ● ● 因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右： x趋于无穷大的演示 2.自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 函数极限的演示 d d 目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d 时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e. 哈哈, d 找到了! d d 这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求! 函数极限的演示 d1 d1 目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e. 哈哈, d 找到了! 例. 设函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 因为 显然 所以 不存在 . 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 有限个无穷小之差仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 第一章 都是无穷小, 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较 定义. 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作