北京联合大学高等数学笔记 第二章.docx

问题 1：微分的定义与几何解释；可微与可导的关系；和差积商的微分法则；复合函数的微分法则；一阶微分的形式不变性. 2：．隐函数求导法及对数求导法；幂指函数求导法；参变量函数求导法 ; 3x笔记 1 3 x 2：但要注意，若 y ? f ( x ) 在 x ? x 0  处不可导， 不能说明 p 0 处无切线,例如 f ( x ) ? 在 x ? 0 处连续,但不可导,而从割线的极限位置来看，曲线在 x ? 0 对应的点处切线是存在的，其切线 y 为轴。 3：定义 设函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x 0 处取得增量 ? x （点x 0 ? ? x 仍 内）时，相当函数 y 取得增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ；如果? y 与 ? x 之比当 ? x ? 0 时的极限存在，则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导，并称这个极限为函数 y ? f ( x ) x x y ? | 在点 0 处的 0 导数，记为 x ? x 0，即 y x ? x0 ? lim ? y ? x ? 0 ? x  ? lim ? x ? 0 f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x ) 0 ? x y ? 4：例 6 设 x 5 ? xx 3 x ? 1 ，求 y ? 由例 6 的求解可知,若先将函数化简再求导数 ,比先求导数后化简要简单,这一点需引起读都解题时的注意。在这类题目当中，特别需要注意商的求导及区分 a x 及 x a 5： 函数的导数与其反函数的导数互为倒数。称此定理为反函数的求导法则。 6： 基本初等函数求导公式 (1) (C ) ? ? 0 (2) ( x ? ) ? ? ? x ? ?1 (sin x ) ? ? cos x (cos x ) ? ? ? sin x (tan x ) ? ? sec 2 x (cot x ) ? ? ? csc 2 x (sec x ) ? ? sec x tan x (csc x ) ? ? ? csc x cot x (9) ( a x ) ? ? a x ln a (e x ) ? ? e x (log a x ) ? ? 1 x ln a  (12) (ln x ) ? ? 1 x ， (13) (15) (arcsin x ) ? ? (arctan x )? ? 1 1 1 ? x 2 1 1 ? x 2  (14) (16) (arccos x ) ? ? ? 1 1 ? x 2(arc cot x )? ? 1 ? x 2 1 ? x 2 函数的和、差、积、商的求导法则设 u ? u ( x ) ， v ? v ( x ) 都可导，则 （1） (u ? v ) ? ? u ? ? v ? （2） (Cu ) ? ? C u ? （ C 是常数） ? ? ? ? u ? ? u ?v ? uv ? （3） (uv ) ? u v ? uv  （4） ? ? ? ? v ? v 2 对数求导法 在某些场合，利用所谓对得数求导法求导数比用通常的方法简便些。这种方法是先在 y ? f ( x ) 的两边取对数，然后再求出 y 的导数，即 第一步：由 y ? f ( x ) 取对数 ln y ? ln f ( x ) , ( f ( x ) ? 0) y ? 第二步：再对 x 求导得 y ? ?ln f ( x )?? y ? ? y ?ln f ( x ) ?? ? f ( x )?ln f ( x )?? 求幂指数函数时经常会用到对数求导。