不等式证明柯西不等式排序不等式切比雪夫不等式均值不等式.docxVIP

几个经典不等式的关系 几个经典不等式 (1)均值不等式 …4 ssa； ++ ?? ? + a；n设％,〃 …4 ss a； ++ ?? ? + a； n 其中6〉0,，= 1,2,???〃.当且仅当％ =凡=???=。时，等号成立. (2)柯西不等式 设%,%,???％,4也,?.也是实数,那么+ a： + ??? + )(斤 + + ■ ? ■+匕；)—(。也 + b0 + ? ? ? +。〃。〃)当且仅当2=0。= 1,2,.??,〃)或存在实数3 使得6二幼(，=12???7)时，等号成立. (3)排序不等式 的任一排列,设.设。22…24，，之苗2…之力为两个数组,q。2，???,c〃是瓦,62，???,bj 那么她+。2为+???+ anbn+ a2c2 +…+册c〃 ah+ a2bAi +-??+ 岫当且仅当q = a2 =??? = %或4 = b2 =??=2时，等号成立. 的任一排列, （4）切比晓夫不等式 对于两个数组： /?2 ? ? Z?7?,有+??? +???+《，〃 n +???+《，〃 n +???+《，〃 nV +???+《，〃 n V b,+h? F 1 乙11 ）她7 +6%+?? ,+岫 n 当且仅当4 =4 = a〃或a=匕=…=Z?时,等号成立. 二相关证明 (1)用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由q + q + 生 + , , ? + 〃〃、, i + 么 + ,,?+”〃 q + 生 + , , ? + 〃〃、, i + 么 + ,,?+”〃 q + 生 + , , ? + 〃〃、, i + 么 + ,,?+”〃岫 + a2 q + 生 + , , ? + 〃〃、, i + 么 + ,,?+”〃 = 〃 （%瓦 + a力2 + ??? + q〃Z?〃 ） 2 （4 + q? + ?, ?+）（4 + 仇 + ,?■+〃） 而（q +。2 ，〃）（01 + 4 +卜。八）—cixbx + q,仇 + ??? + ci.b.. 11l j，e ? i+6Z|/72 +。川3 + , ? , + a〃b] +〃] + 〃乃4 + , ? ? +。〃仇+qZ?4 +。力5 + ,, ? + 4〃”3+q% + 她7 + …+。也 _2 +地+她+…+ 4也根据“顺序和2乱序和(在〃-1个局部同时使用)，可得〃+ % 4 +~ (i + 2 + ? ? ?+。〃) (/?1 + 2 + ,? ?+ bn)即得 n同理，根据“乱序和2反序和“，可得 之以仇+a2bl +???+。也综合即证 （2）用排序不等式证明“几何一算数平均不等式”: 证明：构造两个数列: a, a, a.X — — a, a, a. X — —L x — —!—— . . . Y 人1，人22 ， 人〃 c c —―=- = J cn1 c21 c〃 1，,2 =—=，…％ =—==]其中生??〃 ?因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和: 工1弘+%2%+…―%总是两数组的反序和.于是由“乱序和2反序和”，总有%% +T+不%+…于是 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document a}%an... 111 1 + 1 Hblccc即证Cl, ++??? + 〃 \o Current Document —=C = （3）用切比晓夫不等式证明“算数一开方平均不等式，q+%+..?+可不证明：不妨设…a a： + a； + , ? ,+ % n a： a： + a； + , ? ,+ % n q + % + , ?? + aj 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和一算数平均不等式n （4）用切比晓夫不等式证明“调和一算数平均不等式 n 1 1 —I+ ? ? ? + q a2 4 +%十,?? + 〃〃 证明:n1 ~~1—I+ ? ? , +q a2 证明: 1 1 F 6Z9 !-???+ Cl ?12n 〉]= 〃] %n 不妨设4 2 % 2…2 4〃，那么 —2 册 . — ,由切比晓夫不等式，上式成立,即证. an-\ (5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设q 2 %之…之b2---bn 由切比晓夫不等式，有 由均值不等式，有01bl + a2b2 Tb a〃bn （々+d+???+。〃） 4+% + ???+2 v6+片+?.?+ ^ n 所以44 + a2b2 TF afJbn 斤+区+ ???+〃 n 两边平方，即得(3+出仇+???+。也)2?(。；+蜡+??,+硝仅2+以+???+幻?即证. (6)补充“调和一几何平均不等式”的证明 6 + 见 + ?