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2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）
（科目代码：301）
（考试时间：上午8:30-11:30）
考生注意事项
1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）当时，若与是同阶无穷小，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）设函数则是的（ ）
（A）可导点，极值点. （B）不可导点，极值点.
（C）可导点，非极值点. （D）不可导点，非极值点.
（3）设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）设函数如果对上半平面内的任意有向光滑封闭曲线都有，那么函数可取为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）设是阶实对称矩阵，是阶单位矩阵. 若，且，则二次型规范形为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图所示，有张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设为随机事件，则充分必要条件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，则（ ）
（A）与无关，而与有关. （B）与有关，而与无关.
（C）与，都有关. （D）与，都无关.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（9）设函数可导，，则 .
（10）微分方程满足条件的特解 .
（11）幂级数在内的和函数 .
（12）设为曲面的上侧，则 .
（13）设为阶矩阵. 若线性无关，且，则线性方程组的通解为 .
（14）设随机变量的概率密度为为的分布函数，为的数学期望，则 .
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
设函数是微分方程满足条件的特解.
（I）求；
（II）求曲线凹凸区间及拐点.
（16）（本题满分10分）
设为实数，函数在点处的方向导数中，沿方向的方向导数最大，最大值为
（I）求；
（II）求曲面的面积.
（17）（本题满分10分）
求曲线与轴之间图形的面积.
（18）（本题满分10分）
设
（I）证明数列单调递减；且
（II）求.
（19）（本题满分10分）
设是由锥面与平面围成的椎体，求的形心坐标.
（20）（本题满分 11分）
设向量组为的一个基，在这个基下的坐标.
（I）求；
（II）证明为的一个基，并求到的过渡矩阵.
（21）（本题满分11分）
已知矩阵与相似.
（I）求,;
（II）求可逆矩阵使得.
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为,,()，令.
（I）求的概率密度;
（II）为何值时，与不相关;
（III）与是否相互独立?
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为
是已知参数，是未知参数，是常数. 是来自总体简单随机样本.
（I）求；
（II）求的最大似然估计量.
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