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2020年考研数学（二）试题答案速查 一、选择题 （1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13）1 （14） 三、解答题 （15）. （16）． （17）为极小值. （18）（I）；（II）. （19）. （20）略. （21），为任意常数. （22）（Ⅰ）； （Ⅱ）. （23）（Ⅰ）略；（II）,相似于对角矩阵.  2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】D 【解析】本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。用求导定阶法来判断。在时， ； ； ； . （2）【答案】C 【解析】本题选C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。 间断点有，由于 ； ； ； 故第二类间断点有3个. （3）【答案】A 【解析】本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法. （4）【答案】A 【解析】本题考查了函数在0处的高阶导数的计算。有泰勒公式求解： 所以. （5）【答案】B 【解析】本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法，二元函数极限与累次极限等计算.需要用到偏导数的定义式等. ①； ②因为 当时，， 此时， 故不存在. ③因为 所以当时，，当时，， 当时，， 所以点沿着任意方向趋近于时，极限均为0,故. ④因为 ，所以当时，， 当时，， 当时，, 综上.选（B）. （6）【答案】B 【解析】考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。 由，可知，可以构造辅助函数：， 由导数符号可知函数F(x)在单调递增。由容易推得选B. （7）【答案】C 【解析】不可逆知，及；由知且线性无关（无关组的延长组仍无关），故及，故的基础解系含有3个向量。由知，的列向量均为的解，故通解为. （8）【答案】D 【解析】因为为的特征值对应的两个线性无关的特征向量，故仍为特征值的两个线性无关的特征向量；因为为的特征值的特征向量，故仍为特征值的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需，就有. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】【解析】 ， 所以. （10）【答案】 【解析】交换积分次序， 原式 （11）【答案】 【解析】，，代入，得， ， ； 所以. （12）【答案】 【解析】 （13）【答案】1 【解析】所以特解方程：； 所以；； 又； 所以, 所以 故 （14）【答案】 【解析】 继续将第1列展开, 原式= 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 【解析】斜率 所以斜渐近线方程为： （16）（本题满分10分） 【解析】因为且连续，则 ， 令，则 当时， 因为 所以 则 则 所以在处连续 （17）（本题满分10分） 【解析】 所以或 所以驻点为或 代入，此时 所以不是极值点. 代入 且, 所以为极小值. （18）（本题满分10分） 【解析】（I）由......① 得 则......② 得： 故 （II）体积： （19）（本题满分10分） 【解析】 其中 所以 则 （20）（本题满分11分） 【解析】 所以，且, 当时, （I）构造则在上连续，且 由零点定理知 ,st , 即 （II）构造，则在上可导.由柯西中值定理知： 即 所以 （21）（本题满分11分） 【解析】设所以切线方程：当且 由题意得： 整理得： 换成熟悉的公式：（1）且对（1）两边同时求导整理后得： ， 所以令， 整理，得 分离变量得， 所以 再分离变量，得 所以 则 又 所以 则，为任意常数. （22）（本题满分11分） 【解析】（I）的二次型矩阵 的二次型矩阵 显然，经可逆线性变换，则 当时,，舍去。 故. （II） 令，得 即 令，则经可逆变换， 令 得 令，则经可逆变换， 所以经可逆变换， 则 即 所求可逆矩阵 （23）（本题满分11分） 【解析】（I）设 ①若，则由知； ②若，则，所以是的属于特征值的特征向量，与已知条件产生矛盾. 所以，，向量组线性无关，故矩阵可逆. （II）因为，所以， ， 记，因此， ， 即，由