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2008年考研数学(二)试卷答案速查
选择题
(1)D (2)C (3)D (4)A (5)B (6)A
(7)C (8)D
填空题
(9) (10) (11) (12)
(13) (14)
三、解答题
(15).
(16).
(17).
(18).
(19).
(20)略.
(21),.
(22)(Ⅰ)略.(Ⅱ),.(Ⅲ),为任意常数.
(23)(Ⅰ)略.(Ⅱ)
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)参考答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【答案】D.
【解答】,有三个实数根,所以有三个零点.故答案选D.
(2)【答案】C.
【解答】,其中是矩形面积,
为曲边梯形的面积,为曲边三角形的面积.故选C.
(3)【答案】D.
【解答】 由可知其特征根为.故对应的特征方程为 ,即方程为,故选D.
(4)【答案】A.
【解答】因为,
,
所以为跳跃间断点;
又因为,所以为可去间断点;故答案选A.
(5)【答案】B.
【解答】若单调,则由在内单调有界知,单调有界.由单调有界收敛定理可知收敛,故答案选B.
(6)【答案】A.
【解答】由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分
,
所以,故答案选A.
(7)【答案】C.
【解答】因为,所以.由可逆矩阵的定义可知
可逆,且.同理,,所以可逆,且. 故答案选C.
(8)【答案】D.
【解答】 ,则.所以矩阵的正负惯性指数都是1;
A选项,特征方程,负惯性指数为2,不合同;
B选项,特征方程,正惯性指数为2,不合同;
C选项,特征方程,正惯性指数为2,不合同;
D选项,特征方程,则,正负惯性指数都为1,合同.故答案为D.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)【答案】.
【解答】由,得.
因为连续,所以.
(10)【答案】.
【解答】方程可变形为,通解为
.
(11)【答案】.
【解答】设,则,
在处,得,因此切线方程为.
(12)【答案】.
【解答】,,
由,得,且时,;时,,所以对应的点为拐点.
(13)【答案】.
【解答】令,方程变为,取对数得.方程两边对求导
得,,所以,
.
(14)【答案】.
【解答】因为是3阶矩阵,,所以,即.而,所以.
三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸指定位置上.
(15)(本题满分9分)
解:
.
(16)(本题满分10分)
解:解方程,且,可得.因为函数由参数方程确定,所以, ,
故,.
(17)(本题满分9分)
解:令,则
.
(18)(本题满分11分)
解:如图,取,是区域去掉的剩余部分.
则,,
,
,
所以,.
(19)(本题满分11分)
解:旋转体体积,侧面积.
因为,, 两边对变量求导可得,整理得,
,再对变量求导化简可得二阶微分方程.
由特征方程为, 特征根为,通解为.
将通解代入方程,得. 再由,得.
故该曲线方程为.
(20)(本题满分11分)
证明:(Ⅰ)设和分别是连续函数在区间上的最大值及最小值,则
,.
由介值定理,在上至少存在一点, ,
即 .
(Ⅱ)由积分中值定理,则至少存在一点,使得,
且,则.对分别在区间上应用拉格朗日中值定理,可得
则在区间上对应用拉格朗日中值定理,有
.
(21)(本题满分11分)
解:构造拉格让日函数,
由,解得 或.
则点和为函数在约束条件下的最值点,带入有
, .即最大值为72,最小值为6.
(22)(本题满分12分)
解:(Ⅰ)利用初等变换进行计算
.
(Ⅱ)方程组有唯一解,需.因为,所以有.
利用克莱姆法则可得唯一解为,其中
(Ⅲ)当时,即时,方程组有无穷多解.
此时原矩阵变为.
由,得.
所以的解为,为任意常数.
方程组特解为,所以通解为(为任意常数).
(23)(本题满分10分)
解:(Ⅰ)因为为的分别属于特征值特征向量,所以,且
线性无关.令, ①
则等式两侧左乘得,,
整理可得 ②
由①和②两式相减可得.所以,.再由①可知,
故线性无关.
(Ⅱ)由于线性无关,,所以可逆.
因为,
所以.
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