2008考研数学(二)真题答案.doc

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2008年考研数学(二)试卷答案速查 选择题 (1)D (2)C (3)D (4)A (5)B (6)A (7)C (8)D 填空题 (9) (10) (11) (12) (13) (14) 三、解答题 (15). (16). (17). (18). (19). (20)略. (21),. (22)(Ⅰ)略.(Ⅱ),.(Ⅲ),为任意常数. (23)(Ⅰ)略.(Ⅱ) 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)参考答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【答案】D. 【解答】,有三个实数根,所以有三个零点.故答案选D. (2)【答案】C. 【解答】,其中是矩形面积, 为曲边梯形的面积,为曲边三角形的面积.故选C. (3)【答案】D. 【解答】 由可知其特征根为.故对应的特征方程为 ,即方程为,故选D. (4)【答案】A. 【解答】因为, , 所以为跳跃间断点; 又因为,所以为可去间断点;故答案选A. (5)【答案】B. 【解答】若单调,则由在内单调有界知,单调有界.由单调有界收敛定理可知收敛,故答案选B. (6)【答案】A. 【解答】由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分 , 所以,故答案选A. (7)【答案】C. 【解答】因为,所以.由可逆矩阵的定义可知 可逆,且.同理,,所以可逆,且. 故答案选C. (8)【答案】D. 【解答】 ,则.所以矩阵的正负惯性指数都是1; A选项,特征方程,负惯性指数为2,不合同; B选项,特征方程,正惯性指数为2,不合同; C选项,特征方程,正惯性指数为2,不合同; D选项,特征方程,则,正负惯性指数都为1,合同.故答案为D. 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)【答案】. 【解答】由,得. 因为连续,所以. (10)【答案】. 【解答】方程可变形为,通解为 . (11)【答案】. 【解答】设,则, 在处,得,因此切线方程为. (12)【答案】. 【解答】,, 由,得,且时,;时,,所以对应的点为拐点. (13)【答案】. 【解答】令,方程变为,取对数得.方程两边对求导 得,,所以, . (14)【答案】. 【解答】因为是3阶矩阵,,所以,即.而,所以. 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸指定位置上. (15)(本题满分9分) 解: . (16)(本题满分10分) 解:解方程,且,可得.因为函数由参数方程确定,所以, , 故,. (17)(本题满分9分) 解:令,则 . (18)(本题满分11分) 解:如图,取,是区域去掉的剩余部分. 则,, , , 所以,. (19)(本题满分11分) 解:旋转体体积,侧面积. 因为,, 两边对变量求导可得,整理得, ,再对变量求导化简可得二阶微分方程. 由特征方程为, 特征根为,通解为. 将通解代入方程,得. 再由,得. 故该曲线方程为. (20)(本题满分11分) 证明:(Ⅰ)设和分别是连续函数在区间上的最大值及最小值,则 ,. 由介值定理,在上至少存在一点, , 即 . (Ⅱ)由积分中值定理,则至少存在一点,使得, 且,则.对分别在区间上应用拉格朗日中值定理,可得 则在区间上对应用拉格朗日中值定理,有 . (21)(本题满分11分) 解:构造拉格让日函数, 由,解得 或. 则点和为函数在约束条件下的最值点,带入有 , .即最大值为72,最小值为6. (22)(本题满分12分) 解:(Ⅰ)利用初等变换进行计算 . (Ⅱ)方程组有唯一解,需.因为,所以有. 利用克莱姆法则可得唯一解为,其中 (Ⅲ)当时,即时,方程组有无穷多解. 此时原矩阵变为. 由,得. 所以的解为,为任意常数. 方程组特解为,所以通解为(为任意常数). (23)(本题满分10分) 解:(Ⅰ)因为为的分别属于特征值特征向量,所以,且 线性无关.令, ① 则等式两侧左乘得,, 整理可得 ② 由①和②两式相减可得.所以,.再由①可知, 故线性无关. (Ⅱ)由于线性无关,,所以可逆. 因为, 所以.

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