2009考研数学（一）真题.doc

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一） （科目代码：301） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）当时，与是等价无穷小量，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （2）如图，正方形被其对角线划分为四个 区域，，则 123-112 （A）． （B）． （C）． （D） 1 2 3 -1 1 2 （3）设函数在区间上的图形如图所示，则函数 的图形为 23 2 3 1 -1 -1 1 2 3 1 -1 1 2 2 3 1 -1 -1 1 23 2 3 1 -1 1 （C） （D） （4）设有两个数列，若，则 （A）当收敛时，收敛. （B）当发散时，发散． （C）当收敛时，收敛．（D）当发散时，发散． （5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为 （A）．（B）．（C）．（D）． （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩 阵的伴随矩阵为 （A）． （B）． （C）． （D）． （7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态 分布的分布函数，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为 ，记为随机变量的分布函数，则函数 的间断点个数为 （A）0． （B）1． （C）2． （D）3． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）设函数具有二阶连续偏导数，，则 ． （10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为， 则非齐次方程满足条件的解为 ． （11）已知曲线，则 ． （12）设，则 ． （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的 非零特征值为 ． （14）设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为 样本均值和样本方差．若为的无偏估计量，则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 求二元函数的极值． （16）（本题满分9分） 设为曲线与所围成区域的面积，记，，求与的值． （17）（本题满分11分） 椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是由过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成． （Ⅰ）求及的方程； （Ⅱ）求与之间的立体的体积． （18）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在，使得； （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且． （19）（本题满分10分） 计算曲面积分 ， 其中是曲面的外侧． （20）（本题满分11分） 设，， （Ⅰ）求满足，的所有向量； （Ⅱ）对（I）中的任意向量，证明线性无关． （21）（本题满分11分） 设二次型． （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值． （22）（本题满分11分） 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球， 以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二维随机变量的概率分布． （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本． （Ⅰ）求参数的矩估计量； （Ⅱ）求参数的最大似然估计量．