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2020年考研数学(一)试卷答案速查 一、选择题 （1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）极小值为 （16）． （17）和函数：． （18）． （19）略． （20）（Ⅰ）．（Ⅱ）． （21）（Ⅰ）略．（Ⅱ），可以相似对角化.． （22）（Ⅰ） （Ⅱ）服从标准正态分布 （23）（Ⅰ），； （Ⅱ）的极大似然估计为. 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】（D）． 【详解】； ； ； ．故选（D）． （2）【答案】（C）． 【详解】在处可导，所以在处连续，则，，故选（C）． （3）【答案】（A）． 【详解】在可微，则， 即 （4）【答案】（A）． 【详解】为收敛半径，设，则绝对收敛，即 绝对收敛，收敛。 即若，则收敛；其逆否命题为：若发散，则，选（A）. （5）【答案】（B）． 【详解】矩阵右乘可逆矩阵，即对作初等列变换，则，. 故选（B）． （6）【答案】（C）． 【详解】 ,由直线相交于一点， 故方程有解，，可由的列向量组表示， ，因此可由线性表示.故选（C）． （7）【答案】（D）． 【详解】由题设得， 又， 原式，故选（D）． （8）【答案】（B）． 【详解】由题意,,因此 ，; 根据中心极限定理，, 故，故选（B）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】 【解析】 原式= （10）【答案】 【解析】 ， 所以. （11）【答案】 【分析】本题主要考察二阶常系数齐次线性微分方程的解与反常积分的计算。 【解法】由题有，故 原微分方程对应的特征方程为，特征根为，则 若，则，其中； 若，则，其中； 若，则，其中. 无论是哪一种情况，都有，故原式 （12）【答案】 【分析】本题主要考察变限积分求导与二阶混合偏导数的计算与性质。 【解法】 （13）【答案】． 【解法】 （14）【答案】． 【详解】由,； ,其中 , 故. 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本题满分10分） 【详解】 或 又 当 时 ,，不为极值点. 当 时 ,，为极小值点. 极小值为 . （16）（本题满分10分） 【详解】补曲线，为逆时针方向.设和组成的闭区域为，组成的闭区域为 ，如图所示，则由格林公式，得 而 所以 （17）（本题满分10分） 【详解】（Ⅰ） 则，所以当时，幂级数收敛. （Ⅱ）令, 因为，所以和函数：. （18）（本题满分10分） 【详解】将曲面向面投影得：， 又 ， 故 . （19）（本题满分10分） 【详解】（Ⅰ）证明:(1)时,则,显然成立. 时,不妨设在点处取得最大值. 由拉格朗日中值定理得,存在,使得; 存在,使得; 所以,即介于与之间,从而有 或, 结论得证. （Ⅱ）当时,采用反证法,假设. 则或,与已知矛盾,假设不成立. 当时,此时,易知. 设,;则有,从而单调递减. 又,从而,即,. 因此,从而. 综上所述,最终 （20）（本题满分11分） 【答案】（I）；（II）. 【解析】（I）记， 故. 因为，故，所以，其中为正交矩阵。 所以相似，故特征值相同，故知，，故。 （II）由，知的特征值均为. 解齐次线性方程组及，求特征向量并直接单位化， 对，由知，； 对，由知，； 同理，的属于特征值的特征向量为， 的属于特征值的特征向量为. 记，，就有 ， 因此，只需令 ， 则，二次型经正交变换化为. （21）（本题满分11分） 【详解】（I）设 ①若，则由知； ②若，则，所以是的属于特征值的特征向量，与已知条件产生矛盾. 所以，，向量组线性无关，故矩阵可逆. （II）因为，所以， ， 记，因此， ， 即，由可逆知相似且。 由知，矩阵的特征值均为， 因为特征值互不相同，故矩阵相似于对角矩阵. （22）（本题满分11分） 【详解】（Ⅰ） （II）,故服从标准正态分布 （23）（本题满分11分） 【详解】（Ⅰ）， ； （Ⅱ）求得密度函数 ， 似然函数为， 取对数 求导可得, 解出的极大似然估计为.