2010考研数学（三）真题.doc

2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三） （科目代码：303） （考试时间：上午 8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）若，则等于 （A） 0． （B） 1． （C） 2． （D） 3． （2）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数使 是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则 （A） ． （B） ． （C） ． （D） ． （3）设函数具有二阶导数，且，是的极值，则 在取极大值的一个充分条件是 （A） ． （B） ． （C） ． （D） ． （4）设，则当充分大时有 （A） ． （B） ． （C） ． （D） ． （5）设向量组Ⅰ：可由向量组Ⅱ：线性表示，下列命题 正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则． （B）若向量组Ⅰ线性相关，则． （C）若向量组Ⅱ线性无关，则． （D）若向量组Ⅱ线性相关，则． （6）设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于 （A） ． （B） ． （C） ． （D） ． （7）设随机变量的分布函数 则 （A） 0． （B） ． （C） ． （D） ． （8）设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度， 若为概率密度，则应满足 （A）． （B）． （C）． （D）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）设可导函数由方程确定，则 ． （10）设位于曲线下方，轴上方的无界区域为， 则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为 ． （11）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且， 则 ． （12）若曲线有拐点，则 ． （13）设为3阶矩阵，且，则 ． （14）设为来自总体的简单随机样本，记统计量 ，则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 求极限． （16）（本题满分10分） 计算二重积分，其中由曲线与直线 及围成． （17）（本题满分10分） 求函数在约束条件下的最大值和最小值． （18）（本题满分10分） （Ⅰ）比较与的大小，说明理由； （Ⅱ）记，求极限． （19）（本题满分10分） 设函数在上连续，在内存在二阶导数，且 ， （Ⅰ）证明存在，使； （Ⅱ）证明存在，使． （20）(本题满分11分) 设．已知线性方程组存在两个不同的解． （Ⅰ）求,； （Ⅱ）求方程组的通解． （21）（本题满分11分） 设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列 为，求． （22）（本题满分11分） 设二维随机变量的概率密度为 ，，， 求常数及条件概率密度． （23）（本题满分11分） 箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个．现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数． （Ⅰ）求随机变量的概率分布； （Ⅱ）求．