2022考研数学（一）真题答案.doc

2022年考研数学(一)试卷答案速查 一、选择题 （1）B （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）C （8）C （9）A （10）D 二、填空题 （11）. （12）. （13） （14） （15） （16）. 三、解答题 （17）斜渐近线. （18）. （19）. （20）略. （21）（1）; （2）令正交矩阵，利用正交变换,化为标准形； （3），（为任意常数） （22）（1）；（2）. 2022年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】（B）. 【解析】 ，（B）正确，但连续性未知，故未知，其他三项均错. （2）【答案】（B）. 【解析】 ，选（B）. （3）【答案】（D）. 【解析】取，则（A）、（B）、（C）均错， 且（D）的“不一定存在”是正确的；（D）的“存在”的原因：当时，，而在上单调，故存在. （4）【答案】（A）. 【解析】令，，当时，，所以在上单调递减，当时，所以，，；又时， ，故，选（A）. （5）【答案】（A）. 【解析】 选项（A）：有3个互不相同特征值, 则可对角化, 但是可相似对角化, 的特征值可能有重根，正确; 选项（B）：有3个线性无关的特征向量是可对角化的充要条件; 选项（C）：3个特征向量两两线性无关, 不能保证整体线性无关, 故不能推出可对角化; 选项（D）：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交, 可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵. (6)【答案】(C). 【解析】 由为阶实矩阵,与同解, 则, 即行向量组等价. 由, 则与同解, 与同解, 令, 均为维向量, 则, . 由同解, 通解, 故与同解. 故选(C). (7) 【答案】(C). 【解析】 记,, 由, 当时, , 即, 则与均为的基, 故等价; 当时, , 故与不等价; 当时, , 故与不等价; 当时, , 故, 等价; 故选(C). (8) 【答案】（C）. 【解析】 由，； ， 所以，选（C）. （9）【答案】（A）. 【解析】记，显然可得；则； 又 所以，选（A）. (10)【答案】（D）. 【解析】由题意 且 所以 又 又因为 故； 所以 ，选（D）. 二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． (11) 【答案】. 【解析】在某一点处的最大方向导数是其梯度的模，,，所以最大的方向导数. (12)【答案】. 【解析】 (13) 【答案】. 【解析】原不建议描述一下这是多元最值问题等式建议描述一下这是多元最值问题即 建议描述一下这是多元最值问题 令 当时, 直接求驻点, , 解得,且. 当时, , 或, 且. 当时, 同理解得. 比较可得, 的最大值为. 于是. (14) 【答案】. 【解析】令，, , 于是的收敛区间为, 那么,解得,于是. (15) 【答案】. 【解析】由 . (16) 【答案】. 【解析】因为与相互独立，有=. 又因与互不相容，与互不相容,有 . . 三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 【答案】斜渐近线. 【解析】. 将代入可得，即. 由函数解析式可知，曲线没有垂直渐近线； 又由于， 曲线没有水平渐近线； 又， ， 故曲线有斜渐近线. (18)【答案】. 【解析】将积分区域分为两部分，其中： ，， 故. 其中： ， 故：. (19)【答案】. 【解析】由斯托克斯公式可得： 令：，指向轴负向， ：，指向轴负向， ：，指向轴负向， 则 .加入方法二：斯托克斯公式结合转换投影，给学生提供方法对比【解析】由斯托克斯公式可得：， 加入方法二：斯托克斯公式结合转换投影，给学生提供方法对比 【解析】由斯托克斯公式可得： ，令： 原式可以化为： (20) 【证明】，介于与之间， 必要性：若，则，有. 充分性：若存在使得，因为有二阶连续导数，故存在使得在内恒小于零，记, 此时 ，矛盾！故. 综上，充分性必要性均得证. (21) 【答案】（1）; （2）令正交矩阵，利用正交变换,化为标准形； （3），（为任意常数） 【解析】（1） . （2） 得; ,解得; ,解得; 将进行施密特正交化可得; 将单位化,可得 令正交矩阵， 利用正交变换,将化为标准形； （3）令，则， ，（为任意常数） (22)【答案】 （1）；（2）.