2017考研数学（一）真题答案.doc

2017年考研数学(一)试卷答案速查 一、选择题 （1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）A （8）B 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15），． （16）． （17）时，有极大值；时，有极小值． （18）略． （19）（Ⅰ）方程为．（Ⅱ）． （20）（Ⅰ）略．（Ⅱ）（为任意常数）． （21）．（Ⅱ）． （22）（Ⅰ）. （Ⅱ） （23）（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）． 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】（A）． 【详解】因为在连续，所以; 由 ； 得，即．故选（A）． （2）【答案】（C）． 【详解】由，可判断的单调性. 由于 ， 于是在所考虑的区间上单调增加，因此， , 即，故选（C）． （3）【答案】（D）． 【详解】在点的梯度 ， 向量的方向余弦 ; 因为， 代入公式得方向导数 . 故选（D）． （4）【答案】（C）． 【详解】由题意，从到乙追上甲的时刻 ，乙与甲分别行走的距离 满足 从图中看到 ，； 后式减前式得 ， 即满足 ，故选（C）． （5）【答案】（A）． 【详解】由条件知，为阶方阵，且，， 所以矩阵的特征值为和（重）. 则矩阵特征值分别为，，所以不可逆． 故选（A）． （6）【答案】（B）． 【详解】,是上三角矩阵，是对角阵，特征值都是． 对于的二重特征值（等于重数），故可相似对角化，相似于． 对于的二重特征值（小于重数），于是不可相似对角化，不相似于．故选（B）． （7）【答案】（A）． 【详解】由题设得， ． 对于（A）选项得， ． 故选（A）． （8）【答案】（B）． 【详解】（A）选项，所以； （B）选项，所以，从而不服从分布； （C）选项； （D）选项，所以．故选（B）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】． 【详解】由函数的泰勒展开得，则的三次幂项为. 因为为偶函数，则也为偶函数，即的三次幂项为，故． （10）【答案】为任意常数． 【详解】由条件知特征方程为 ， 得特征根，因此通解为 为任意常数． （11）【答案】． 【详解】由条件封闭曲线积分与路径无关，得，其中 . 因为，， 所以，，解得． （12）【答案】 【详解】设，两边同时积分得， 因此 （13）【答案】． 【详解】因为线性无关，则为可逆矩阵．于是 . 对进行初等行变换， 得，所以的秩为． （14）【答案】． 【详解】由得密度函数为 . 所以， 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本题满分10分） 【解】由复合函数的求导法则，复合函数两边对求导得， , 代入得， 函数两边再对求导，代入得 , 代入得， （16）（本题满分10分） 【解】由定积分定义得， （17）（本题满分10分） 【解】先求隐函数的驻点．方程两边对求导， , 解得，. 由得，解得 和 当时，在的左侧在右侧取极大值． 当时，在的左侧在右侧取极小值． （18）（本题满分10分） 【证】（Ⅰ）由及极限的保号性，则存在，使得， 即．又在上连续，．故由闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点使得，即在内至少存在一个实根． （Ⅱ）设辅助函数，即证在内至少存在两个零点． 由于存在，及在上连续，可得 . 由（Ⅰ）可知，再对在上用罗尔定理，存在,使得 . 所以有. 对分别在上用罗尔定理，存在使得 ； 故方程在区间内至少存在两个实根． （19）（本题满分10分） 【解】（Ⅰ）曲线是圆锥面与柱面的交线：，消去联立方程中的得，于是在平面上的投影曲线方程为 （Ⅱ）曲面的质量为，其中 ， ; ，如右图阴影部分所示. （20）（本题满分11分） 【解】（Ⅰ）由于知线性相关，得，于是是的特征值．设的特征值为，由于它们两两不等，所以都不为并且相似于．于是 （Ⅱ）由，得，即，则是齐次方程的一个特解． 因为，所以的基础解系只包含一个解向量，于是构成的基础解系． ， 因此是非齐次方程的一个特解．于是的通解为： 取任意常数． （21）（本题满分1