2019考研数学（一）真题答案.doc

2019年考研数学（一）试题答案速查 一、选择题 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）C （6）A （7）C （8）A 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13）（为任意常数）. （14） 三、解答题 （15）（I）；（II）凹区间为，凸区间为，拐点为 （16）（I）；（II）. （17）. （18）（I）略；（II）1. （19）. （20）（I）；（II）. （21）（I）；（II）. （22）（I）；（II）；（III）不独立. . （23）（Ⅰ）；（II）. 2019年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）【答案】C 【解析】，所以选C. （2）【答案】B 【解析】，所以连续. 又,所以不可导. 在的去心左右邻域内异号,所以是极值点.选B. （3） 【答案】D 【解析】取，则A不对；取，则B、C不对； 而D选项:,存在极限. 选D. （4）【答案】D 【解析】曲线积分与路径无关，则连续的偏导数，所以C不选(不连续)，选D. （5）【答案】C 【解答】由，可知矩阵的特征值满足方程，解得，或. 再由，可知，所以规范形为故答案选C. （6）【答案】A. 【解答】因为张平面无公共交线，则说明方程组无解，即. 又因为张平面两两相交，且交线相互平行，则齐次方程组只有一个线性无关解，所以. 故答案选A. （7）【答案】C 【解析】；选C. （8）【答案】A 【解析】，所以；选A. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． （9）【答案】 【解答】因为，， 所以 （10）【答案】 【解答】因为，可得，两边积分可得 代入，得，故 （11）【答案】 【解答】因为，所以. （12）【答案】 【解答】 . （13）【答案】（为任意常数）. 【解答】由条件可知线性相关，又线性无关，所以. 由此可知方程组的基础解系只包含一个线性无关解向量. 再由可得 ，所以可取为一个非零解，故通解为（为任意常数）. （14）【答案】 【解答】由条件可得，且可求得分布函数 故可得 【解法二】 利用概率中的一个结论：设为连续型随机变量，其分布函数严格单调递增，则在区间上服从均匀分布，故 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本题满分10分） 【解答】（I）可知方程为一阶线性方程，由通解公式可得通解为 ，再由，解得，故特解为 （II）因为，， 由得，再由二阶导数的符号可得 凹区间为，凸区间为，拐点为 （16）（本题满分10分） 【解答】（I）; 方向导数沿梯度的方向时最大,此时为梯度的模;而梯度 ， 所以,且,解得. （II）,所以所求面积 . （17）（本题满分10分） 【解答】设在区间上所围的面积记为,则 ; 记,则 ?? , 所以; 因此; (这里需要注意) 因此所求面积为 . （18）（本题满分10分） 【解答】（I）证明: ,所以单调递减. 从而有; （II）因为,而,由夹逼准则知 . （19）（本题满分10分） 【解答】设形心坐标为，由对称性知，，且有 ， ， 令则，所以， 故，. 因此形心坐标为 （20）（本题满分 11分） 【解答】（I）易知向量组线性无关,则其行列式不为零,即. 由可得从而 . （II）因为,所以线性无关，故为的一个基. 设过渡矩阵为,则有,从而 （21）（本题满分11分） 【解答】（I）相似矩阵有相同的特征值,因此有 又,,所以. （II）易知的特征值为;因此 ,取, ,取, ,取 令,则有; 同理可得,对于矩阵,有矩阵,,所以 ,即,所以 . （22）（本题满分11分） 【解答】（I）的分布函数为，因为与相互独立，且的分布函数为 因此， 所以，的概率密度为 （II）当时，与不相关. 因为，，故 （III）不独立. 因为 ， 而，故， 所以与不独立. （23）（本题满分11分） 【解答】（I）由密度函数的规范性可知，即 ， 得 （II）设似然函数， 取对数； 求导数， 令导数为零解得， 故的最大似然估计量为.