2020考研数学（一）真题.doc

2021年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一） （科目代码：301） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）当，下列无穷小量中最高阶的是（ ） （A） （B） （C）． （D） （2）设函数在区间内有定义，且，则（ ） （A）当时，在处可导 （B）当时，在处可导 （C）在处可导时， （D）在处可导时， （3）设函数在点可微，，，非零向量，则（ ） （A）存在 （B）存在 （C）存在 （D）存在 （4）设为幂级数的收敛半径，为实数，则（ ） （A）若发散，则 （B）若收敛，则 （C）若，则发散 （D）若，则收敛 （5）若矩阵由初等列变换为矩阵，则（ ） （A）存在矩阵，使； （B）存在矩阵，使； （C）存在矩阵，使； （D）方程组与同解； （6）已知相交于一点，令，，则（） （A）可由，线性表示 （B）可由，线性表示 （C）可由，线性表示 （D）线性无关 （7）设为三个随机事件， ， 则恰好发生一个的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） （8）设为来自总体的简单随机样本，其中，表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可知，的近似值为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9） ． （10）设,则 ． （11）设函数满足,且,,则 ． （12）设函数, 则 ． （13）行列式 ． （14）已知随机变量服从区间上的均匀分布,,则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 求函数的极值. （16）（本题满分10分） 计算,其中为, 方向为逆时针方向. （17）（本题满分10分） 设数列满足,.证明:当时幂级数收敛并求其和函数. （18）（本题满分10分） 设为曲面下侧，为连续函数. 计算 . （19）（本题满分10分） 设函数在上具有连续导数.,. 证明：（I）存在 使得 （II）若对任意,,则. （20）（本题满分11分） 设二次型经正交变化化为二次型，其中. （I）求的值； （II）求正交变换矩阵. （21）（本题满分11分） 设为2阶矩阵，，其中是非零向量且不是的特征向量. （I）证明矩阵可逆； （II）若，求并判断是否相似于对角矩阵. （22）（本题满分11分） 设随机变量相互独立，其中与均服从标准正态分布，的概率分布为,。 （I）求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布表示； （II）证明随机变量服从标准正态分布。 （23）（本题满分11分） 设某种元件的使用寿命的分布函数为 ， 其中 为参数且大于零. （I）求概率与，其中； （II）任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为，若已知，求的最大似然估计值.