2008考研数学（一）真题答案.doc

2008年考研数学(一)试卷答案速查 一、选择题 （1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）. （17）距离最大的点为，距离最小的点为. （18）略. （19）,. （20）略. （21）（Ⅰ）略.（Ⅱ）,.（Ⅲ）,为任意常数. （22）（Ⅰ）.（Ⅱ） （23）（Ⅰ）略. （Ⅱ）. 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】B. 【解答】由，解得，只有一个实根，即一个零点，故选B. （2）【答案】A. 【解答】由，得；，得 所以 故答案选A. （3）【答案】D. 【解答】 由可知其特征根为. 故对应的特征方程为， 即方程为，故选D. （4）【答案】B. 【解答】若单调，则由在内单调有界知，单调有界. 由单调有界收敛定理可知收敛，故答案选B. 若取，则且排除（A）； 若取排除（C）、（D）. （5）【答案】C. 【解答】解法一：因为，所以.由可逆矩阵的定义可知可逆，且.同理， ，所以可逆，且.故答案选C. 解法二：设是的实特征值，由，得 故A的特征值只有0，于是的实特征值是1，的实特征值是1，故二者均可逆. （6）【答案】B. 【解答】由题目图像可知，该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 ， 故其对应的二次型矩阵的正的特征值个数为1，答案为B. （7）【答案】A. 【解答】，因为独立同分布，则 .因此答案为A. （8）【答案】D. 【解答】由知 由于 所以存在常数，使得，从而，得而 所以 故应选D. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】. 【解答】由，分离变量，两边积分得，即 .利用初始条件，得，所以. （10）【答案】. 【解答】设，则， 在处，得，因此切线方程为. （11）【答案】. 【解答】因为幂级数是以为收敛中心的幂级数，且在处收敛，在处发散，所以其收敛半径收敛域为 即只在时收敛，从而幂级数也只在时收敛，所以的收敛域为. （12）【答案】. 【解答】补充平面，取下侧，则 原式. 由高斯公式可知 . 而，其中， 由轮换对称知，所以 ，故曲面积分 . （13）【答案】1. 【解答】因为，所以， 令，因为为线性无关，所以矩阵可逆，则， 故相似于. 由，得.因此的非零特征值为. （14）【答案】. 【解答】由，可知，于是， 因此. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 解法一： . 解法二：由于故 于是 (16)(本题满分9分) 解：设则利用格林公式有 其中. 因为， ， 所以. (17)(本题满分11分) 解：设点为曲线上任意一点，到面的距离. 构造拉格朗日函数， 由， 得，从而 解得 或， 故曲线到平面距离最大的点为，距离最小的点为. （18）（本题满分10分） 证明：（Ⅰ）由导数定义可知. 因为是连续函数，由积分中值定理知 其中位于之间， 所以. （Ⅱ）解法一：因为是以为周期的周期函数，所以有，则 . 故，因此也是以2为周期的周期函数. 解法二： 所以所以（常数） 又因为 所以 即也是以2为周期的周期函数. （19）（本题满分11分） 解：当时， . 当时， . 于是的余弦级数为 . 即 （）. 令，得 ， 所以 . （20）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）因为是维列向量，所以. 故； （Ⅱ）若线性相关，则对应成比例，不妨设（为常数），则 ，所以，. （21）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）利用初等变换进行计算 . （Ⅱ）方程组有唯一解，需.因为，所以有. 利用克莱姆法则可得唯一解为，其中 （Ⅲ）当时，即时，方程组有无穷多解. 此时原矩阵变为. 由，得. 所以的解为，为任意常数. 方程组特解为，所以通解为（为任意常数）. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ） . （Ⅱ）由全概率公式可得， . 故 （23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ） 由, 得, 所以，， 因此,所以是的无偏估计量. （Ⅱ）因为，所以与独立，因此. 当时，. 标准化得，于是有，且. 又因为，所以. 则 .