2008考研数学（三）真题答案.doc

2008年考研数学(三)试卷答案速查 一、选择题 （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）D （7）A （8）D 二、填空题 （9）1 （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）（Ⅰ） .（Ⅱ）. （17）. （18）略. （19）. （20）（Ⅰ）略.（Ⅱ）,.（Ⅲ）,为任意常数. （21）（Ⅰ）略.（Ⅱ）. （22）（Ⅰ）.（Ⅱ） （23）（Ⅰ）略. （Ⅱ）. 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】B. 【解答】，所以是可去间断点，故选B. （2）【答案】C. 【解答】，其中是矩形面积， 为曲边梯形的面积，为曲边三角形的面积. 故选C. （3）【答案】B. 【解答】,极限不存在，故偏导数不存在. ，偏导数存在.答案选B. （4）【答案】A. 【解答】由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分 ， 所以，故答案选A. （5）【答案】C. 【解答】因为，所以.由可逆矩阵的定义可知可逆，且.同理，，所以可逆，且.故答案选C. （6）【答案】D. 【解答】 ，则.所以矩阵的正负惯性指数都是1. A选项，特征方程，负惯性指数为2，不合同； B选项，特征方程，正惯性指数为2，不合同； C选项，特征方程，正惯性指数为2，不合同； D选项，特征方程，则，正负惯性指数都为1，合同.故答案为D. （7）【答案】A. 【解答】，因为独立同分布，则 .因此答案为A. （8）【答案】D. 【解答】由随机变量的相关系数可知，，且. 因为，， 所以，再有，可知，即，故选D. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】1. 【解答】因为，，且函数连续，所以，得.当时，左右极限与均相同. （10）【答案】. 【解答】，得， 所以. （11）【答案】. 【解答】因为积分区域关于轴对称，所以，则， 再由的轮换对称性，由， 所以. （12）【答案】. 【解答】由，分离变量，两边积分得，即 .利用初始条件，得，所以. （13）【答案】3. 【解答】因为的特征值为，所以矩阵的特征值为，因此矩阵的特征值为，故. （14）【答案】. 【解答】由，可知，于是， 因此. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 解： . （16）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）方程两边分别求微分，利用微分的一阶形式不变性得 ， 合并得，又， 解得. （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，则 ， 故. （17）（本题满分11分） 解：如图，取，是区域去掉的剩余部分. 则，， ， ， 所以，. （18）（本题满分10分） 证明：(I)令函数,则. 因为是周期为的连续函数，所以， 故函数.因为，所以，即. （Ⅱ）因为是以为周期的周期函数，所以有，则 . 故，因此也是以2为周期的周期函数. （19）（本题满分10分） 解：由题得 . 令，（），则， 所以，故 ， 由，得（万元）. （20）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）利用初等变换进行计算 . （Ⅱ）方程组有唯一解，需.因为，所以有. 利用克莱姆法则可得唯一解为，其中 （Ⅲ）当时，即时，方程组有无穷多解. 此时原矩阵变为. 由，得. 所以的解为，为任意常数. 方程组特解为，所以通解为（为任意常数）. （21）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）因为为的分别属于特征值特征向量，所以，且 线性无关.令， ① 则等式两侧左乘得，， 整理可得 ② 由①和②两式相减可得.所以，.再由①可知， 故线性无关. （Ⅱ）由于线性无关，，所以可逆. 因为， 所以. （22）（本题满分11分） 解：(I). (II) 由全概率公式可得， . 当时，； 当时，； 当时，； 当时， ； 当时，，所以 故 （23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ） 由, 得, 所以，， 因此,所以是的无偏估计量. （Ⅱ）因为，所以与独立，因此. 当时，. 标准化得，于是有，且. 又因为，所以. 则 .