2008考研数学（二）真题.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码：302） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）设函数，则的零点个数为 （A）. （B）. （C）. （D）. （2）如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分 等于 （A）曲边梯形的面积. （B）梯形的面积. （C）曲边三角形的面积. （D）三角形的面积. （3）在下列微分方程中，以(为任意常数) 为通解的是 （A）. （B）. （C）. （D）. （4）设函数，则有 （A）个可去间断点，个跳跃间断点. （B）个可去间断点，个无穷间断点. （C）个跳跃间断点. （D）个无穷间断点. （5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是 （A）若收敛，则收敛. （B）若单调，则收敛. （C）若收敛，则收敛. （D）若单调，则收敛. （6）设函数连续. 若 ， 其中区域为图中阴影部分， 则 （A）. （B）. （C）. （D）. （7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若，则 （A）不可逆，不可逆. （B）不可逆，可逆. （C）可逆，可逆. （D）可逆，不可逆. （8）设，则在实数域上与合同的矩阵为 （A）. （B）. （C）. （D）. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）已知函数连续，且，则 . （10）微分方程的通解是 . （11）曲线在点处的切线方程是 . （12）曲线的拐点坐标为 . （13）设，则 . （14）设阶矩阵的特征值为.若行列式，则 . 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）(本题满分9分) 求极限. （16）(本题满分10分) 设函数由参数方程确定，其中是初值问题 的解. 求. （17）(本题满分9分) 计算 . （18）(本题满分11分) 计算，其中. （19）(本题满分11分) 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且. 对任意的 ，直线，曲线以及轴所围成曲边梯形绕轴旋转一 周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的倍，求函数的 表达式. （20）(本题满分11分) （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点 ，使得； （Ⅱ）若函数具有二阶导数，且满足，则至少 存在一点，. （21）(本题满分11分) 求函数在约束条件和下的最大值和最小值.（22）(本题满分12分) 设元线性方程组，其中 ，，. （Ⅰ）证明行列式； （Ⅱ）当为何值时，该方程组有唯一解，并求； （Ⅲ）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. （23）(本题满分10分) 设为阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足 . （Ⅰ）证明线性无关； （Ⅱ）令，求.