群的不可约表示.docx

PAGE PAGE 10 群的不可约表示 建立了二维幺正幺模矩阵U ?a , b ?与欧勒角?? , ? , r ? 的关系后，本节将给出SU(2)群的不可约表示D ( l ) ?a , b ? . SU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵 ? a ?U ? ? ? ? b ? b ? , ? a ? ? a 2 ? b 2 ? 1 . 设二维空间的基元为? ?? , ? ? , 1 2 则 P? (U ) 是与 U 相联系的变换算符， ? ? P? (U )? ? i i 亦即 ? U ? ji j j 容易证明 ?? ? P? (U )? ? a ? ? b * ? 1 1 1 2 ?? ? P? (U )? ? b? ? a * ? 2 2 1 2 (1) ?? 2 + ?? 2 = ? 2 + ? 2 (2) 1 2 1 2 为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数Y lm 取成 (?, ?) 相联系，通常将其 ? ?f ( ? , ? )= N ? l ? m ? l ? m , m ? l , l ? 1, ，? ? ? l m 1 2 l m 1 2 (3) 选择N l m 满足下列条件 ?l f  (?? , ?? ) 2  ? ?l f  (? , ?  ) 2 (4) l m 1 2 m ? ? l 亦即 l m 1 2 m ? ? l ?l N 2 ??? 2 ?l ? m ??? 2 ?l ? m ? ?l N 2 ?? 2 ?l ? m ?? 2 ?l ? m (5) lm 1 m ? ? l 2 lm 1 2 m ? ? l 下面将证明，若取 1 N 2 ? lm (l ? m )!( l ? m )! (6) (4)式或(5)式成立, 因为若将(6)代入(5)式得 ?  2 ?l ? m ?  2 ?l ? m l 2 ? ?l ? m ? ?l ? m l 1 2 ? N ? 2 ? ? ? 2 ? ? lm 1 m ? ? l 2 m ? ? l ?l ? m ?!?l ? m ?! ?? 令 l ? m ? n ，则上式变为： ? ? 1 ?2 l ?2l ?! n ? 0 ?2l ?! n !?2l ? n ?! ? 2 ?2 l ? n ? 1 2 2 ?n 二项式定理 1 ?2 l ?! ? 2 ?1 ? ? ? 2 2 ?2 l (2) 式 1 ?? 2 ? ? 2 ?2 l ? ?l N 2 ?? 2 ?l ? m ?? 2 ?l ? m ?2l ?! 1 2 l m 1 2 m ? ? l 因此（4）或（5）式得以证明. 由于 f l m ?? ? 1 2 ?为 SU(2)群的表示空间的基矢，所以有： P? (U ) f ?? , ? ? ? f ?? , ? ?? ?l D ?l ? ?U ? f ?? , ? ? （7） l m 1 2 l m 1 2 m ?? ? l m m l m 1 2 其中D ?l ? m m ?U ?就是 SU(2)群的表示矩阵。 1?l ? m 1 ?l ? m ?!?l ? m ?! 2 1 2 P? (U ) f ?? , ? ? ? f ?? , ? ?? N ?? ?l ? m ?? ?l ? m ? ( a? ? b ?? ) l ? m (b? ? a ?? ) l ? m l m 1 2 l m 1 2 l m 1 2 由二项式定理 则上式变为：  ( a ? b ) n  ? ?n k ? 0  n ! k !( n ? k )!  a n ? k b k P? (U ) f ?? , ? ? ? em 1 2 ?l ? m ?l ? m ( ? 1) k k ? 0 k ? 0 ? ?l ? m ?!?l ? m ?!.k !(l ? m ? k ?l ? m ?!?l ? m ?! . a * k ?b * k a l ? m ? k b l ? m ? k ?? 2 l ? k ? k ?? k ? k ? 令 m ? l ? k ? k 1 2 ，当k ? 0, k ?0 时，m ? l ，当k ? l ? m k, ?l ?m 时，m ? ? l ， k m 则上式可变 k m ?l ? m ?l ? m ?!?l ? m ?! P?