2009考研数学（一）真题答案.doc

2009年考研数学（一）试卷答案速查 一、选择题 （1）A （2）A （3）D （4）C （5）A （6）B （7）C （8）B 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）极小值． （16），． （17）（Ⅰ）：，：．（Ⅱ）． （18）略． （19）． （20）（Ⅰ） （为任意常数）． ，（为任意常数）． （Ⅱ）略． （21）（Ⅰ）特征值为．（Ⅱ）． （22）（Ⅰ）. （Ⅱ）的概率分布为 （23）（Ⅰ）的矩估计量为 ，其中． （Ⅱ）的最大似然估计量为 ，其中． 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】A． 【解答】， 因为，所以，从而 再有，，得．故选A． （2）【答案】A． 【解答】因为区域关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以．因为区域关于轴对称，被积函数是关于的偶函数，所以 ，其中是在第一象限内的部分， ，其中是在第四象限内的部分． 故选A． （3）【答案】D． 【解答】，表示与轴、轴及所围的图形的代数面积．由的图形可知， = 1 \* GB3 ①因为只有有限个第一类间断点，所以连续．②当时，． ③当时，，且单调递减．④时，单调递增，且 ．⑤时，为常函数．故选D． （4）【答案】C． 【解答】因为，所以当足够大时，有．又因为收敛，可得 ，从而当足够大时，有．于是，当足够大时，有，由正项 级数的比较判别法可知收敛．故选C． 【注】本题亦可用举反例进行排除. 取，排除A．取，排除B、D，故选C． （5）【答案】A． 【解答】因为，所以选A． （6）【答案】B． 【解答】因为当可逆时，，所以 ，故选B． （7）【答案】C． 【解答】因为分布函数， 所以密度函数， 所以， 其中，， 所以．故选C． （8）【答案】B． 【解答】由全概率公式， ， 因为与相互独立，所以 ， 当时，；当时， ． 所以为间断点，故选B． 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】． 【解答】，． （10）【答案】． 【解答】由的通解为，由解的结构可知特征根为 ，因此．设的特解为， 则，解得，故方程的通解为． 由，得，所求特解为． （11）【答案】． 【解答】， ． （12）【答案】． 【解答】由轮换对称性，， 则， ． （13）【答案】2． 【解答】设，则已知条件有 又 显然矩阵的秩为1，所以矩阵的特征值中只有一个是非零的，其余两个均为零. 根据矩阵特征值的性质：矩阵所有特征值的和等于该矩阵的迹，即等于该矩阵主对角元素之和，可知矩阵的非零特征值等于. （14）【答案】． 【解答】因为为的无偏估计量，所以 ．由 解得． 三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 解：由解得. 而， 则， 因为而，所以有极小值． （16）（本题满分9分） 解：因为，， 从而，， . 设，则， 所以，． （17）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）的方程为，则方程两边对求导，得． 设椭圆上一点处的切线为， 由切线过点得，，又，解得， 从而切线为，的方程为． （Ⅱ）与之间的立体的体积，其中是一个底面半径为，高为的圆锥体体积，是椭球体介于平面和之间的部分的体积. 由于 所以 （18）（本题满分11分） 证明：（Ⅰ）作辅助函数，有， 且．由罗尔定理存在，使得，即 ，结论成立． （Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得 ，. 因为，所以，故存在，且． （19）（本题满分10分） 解：由已知条件可知， ， 所以，，，， 从而有． 由于被积函数及其偏导数在点处不连续，在内作封闭曲面 ，取内侧，由高斯公式， ，其中是和之间的立体． 从而 再由高斯公式，，其中是所围的立体． （20）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）因为， 故得其基础解系为，一个特解为，从而 其中为任意常数 因为，有 ， 解得，其中为任意常数． （Ⅱ）由于，故线性无关． （21）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）二次型的矩阵为， 由，解得的特征值为． （Ⅱ）若二次型的规范形为时，可知二次型相似于矩阵，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故，． （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）表