2013考研数学（三）真题.doc

2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三） （科目代码：303） （考试时间：上午 8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）当时，用“”表示比高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是 （A）. （B）. （C）. （D）. （2）函数的可去间断点的个数为 （A）. （B）1. （C）2. （D）3. （3）设是圆域在第象限的部分，记 ，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （4）设为正项数列，下列选项正确的是 （A）若，则收敛. （B）若收敛，则. （C）若收敛，则存在常数，使存在. （D）若存在常数，使存在，则收敛. （5）设矩阵均为阶矩阵，若，且可逆，则 （A）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （B）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （C）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （D）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A）． （B）为任意常数． （C）． （D）为任意常数． （7）设是随机变量，且 ，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设随机变量和相互独立，且和的概率分布分别为 0 1 2 3 -1 0 1 则 （A）. （B）. （C）. （D）. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）设曲线与在点处有公共切线，则 ． （10）设函数由方程确定，则 ． （11） ． （12）微分方程的通解 ． （13）设是3阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式. 若 ，则 ． （14）设随机变量服从标准正态分布，则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）(本题满分10分) 当时，与为等价无穷小量，求和的值. （16）(本题满分10分) 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是 绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积.若，求的值. （17）(本题满分10分) 设平面内区域是由直线及围成,计算. （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为 ,(是单价，单位：元；是销量，单位：件).已知产销平衡，求： （Ⅰ）该商品的边际利润； （Ⅱ）当时的边际利润，并解释其经济意义； （Ⅲ）使得利润最大的定价. （19）（本题满分10分） 设函数在上可导，，且.证明： （Ⅰ）存在，使得； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的，存在，使得. （20）(本题满分11分) 设.当为何值时，存在矩阵使得, 并求所有矩阵. （21）（本题满分11分） 设二次型，记 . （Ⅰ）证明二次型对应的矩阵为. （Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为. （22）（本题满分11分） 设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定 的条件下的条件概率密度为 （Ⅰ）求的概率密度； （Ⅱ）求的边缘概率密度； （Ⅲ）求． （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本. （Ⅰ）求的矩估计量； （Ⅱ）求的最大似然估计量.