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2015年考研数学（二）试题答案速查 一、选择题 （1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）B （7）D （8）A 填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）. （17）为极小值. （18）. （19）零点个数为2． （20）还需冷却30min. （21）略. （22）（Ⅰ）. （Ⅱ）. （23）（Ⅰ）. （Ⅱ）. 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）参考答案 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】D． 【解答】因为且，故发散，不选A． 同理，故发散，不选B． ，故发散，不选C．故选择D． （2）【答案】B． 【解答】,，显然处没有定义．因为，所以为可去间断点，故选择B． （3）【答案】A． 【解答】当；， 当时，存在，且. 当时，， 若处连续，则，即，故选择A． （4）【答案】C． 【解答】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点，故选C． （5）【答案】D． 【解答】令得，故. ,所以，故选择D． （6）【答案】B． 【解答】如图，利用极坐标， 对于积分区域，，再由 ，解得； ，解得； 故可得答案B． （7）【答案】D． 【解答】， 由得，故选D． （8）【答案】A． 【解答】由题意知，又， ，故选择A． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】48． 【解答】，，得． （10）【答案】． 【解答】， 所以，． （11）【答案】2． 【解答】由，得， 再由，得，解得． （12）【答案】． 【解答】由题可知特征方程为，特征根，所以通解为 ，再有，得，所以． （13）【答案】． 【解答】当时解得，对该式两边分别对求偏导得， ， ，将带入得． （14）【答案】21． 【解答】由矩阵的特征值为，由可知矩阵的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，． 三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限．而， 原式 ． 要使得该极限值为1，必有，所以． （16）（本题满分10分） 解：由旋转体的体积公式可得， ， ，由，解得． （17）（本题满分10分） 解：，两边对积分得 ， 又 ，故． 所以，，两边对积分得， ． 由 ，得，. 令 解得 且有 ， 当时，， 因为,故存在极小值，且为极小值． （18）（本题满分10分） 解：由条件可知积分区域关于轴对称，所以由二重积分的对称性可知， ，所以． 而 ． （19）（本题满分10分） 解：因为， 令，得为其驻点． 当单调递减，当单调递增． 故是唯一的极小值，也是最小值． 易知：；. 因为当单调递增． 则. 并且当时，. 由零点定理知，函数在区间和上各有一个零点，故零点个数为． （20）(本题满分11分) 解：设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为，则 ． 又得，即． 又得即． 所以，当时. ，故还需冷却30min． （21）（本题满分11分） 证明：根据题意得点处的切线方程为． 令，得， 因为，所以递增，又 因为得，又， 所以． 又，在上利用拉格朗日中值定理得， ， 所以． 再由，可知单调递增． 所以，可得．从而结论得证． （22）（本题满分11分） 解：（I）由，得，故可得． （II）由条件，可知 ． 所以． 因为，利用初等变换 可得，所以． （23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为相似，所以且，即 联合①②两式，解得． （Ⅱ）因为相似，所以 ， 得矩阵的特征值为（二重），. 当时，解方程组，得基础解系为， 当时，解方程组，得基础解系为． 令可逆矩阵,使得．