2020考研数学（二）真题.doc

2021年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码：302） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）当时，下列无穷小量中最高阶的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）函数的第二类间断点的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 （3） （A） （B） （C） （D） （4）已知当时， （A） （B） （C） （D） （5）关于给出下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的个数为（ ） （A）4 （B） 3 （C） 2 （D） 1 （6）设在上可导，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） （7）设4阶矩阵不可逆，的代数余子式，为矩阵的列向量组，为的伴随矩阵，则的通解为（ ） （A） ，其中为任意常数 （B），其中为任意常数 （C） ，其中为任意常数 （D），其中为任意常数 （8）设为3阶矩阵，为的特征值对应的两个线性无关的特征向量，为的属于特征值的特征向量. 若存在可逆矩阵，使得，则可为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）设，则 . （10）求= . （11）设则 . （12）斜边长为的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为，水密度为，则三角形平板的一侧收到的压力为 . （13）设满足 且，，则 .  （14）行列式 . 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分）. 求曲线的斜渐近线. （16）（本题满分10分） 已知函数连续, 且 求且证明在处连续. （17）（本题满分10分） 求的极值.  （18）（本题满分10分） 设函数的定义域为，且满足 求； 求曲线及围成的图形绕轴旋转一周所形成旋转体的体积. （19）（本题满分10分） 计算二重积分，其中区域由及轴围成. （20）(本题满分11分)设函数（I）证明：存在，使得. （II）证明：存在，使得. （21）（本题满分11分） 设函数可导, 且. 曲线过原点, 点为曲线上任意一点, 过点的切线与轴相交于点, 过点做垂直于轴于点, 已知由曲线，直线以及轴所围成图形的面积与三角形的面积比恒为, 求满足上述条件的曲线方程. （22）（本题满分11分） 二次型经可逆线性变换化二次型为 求的值； 求可逆矩阵. （23）（本题满分11分） 设为2阶矩阵，，是非零向量且不是的特征向量. （I）证明矩阵可逆； （II）若，求并判断是否相似于对角矩阵.