2013考研数学（一）真题.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一） （科目代码：301） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）已知极限，其中为常数，且，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （2）曲面在点处的切平面方程为 （A）． （B）． （C）． （D）． （3）设，，令， 则 （A）． （B）． （C）． （D）． （4）设:,:,:,:为四条逆时 针方向的平面曲线．记 ， 则 （A）． （B）． （C）． （D）． （5）设矩阵均为阶矩阵，若，且可逆，则 （A）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （B）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （C）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （D）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A）． （B）为任意常数． （C）． （D）为任意常数． （7）设是随机变量，且 ，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设随机变量，给定常数满足 则 （A）． （B）． （C）． （D）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）设函数由方程确定，则 ． （10）已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解 ． （11）设（为参数），则 ． （12） ． （13）设是3阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式. 若 ，则 ． （14）设随机变量服从参数为1的指数分布，为常数且大于零，则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 计算，其中. （16）（本题满分10分） 设数列满足条件：,是幂级数 的和函数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的表达式. （17）（本题满分10分） 求函数的极值. （18）（本题满分10分） 设奇函数在上具有2阶导数，且，证明： （Ⅰ）存在，使得； （Ⅱ）存在，使得. （19）（本题满分10分） 设直线过两点,将绕轴旋转一周得到曲面.与平面 所围成的立体为. （Ⅰ）求曲面的方程； （Ⅱ）求的形心坐标. （20）(本题满分11分) 设.当为何值时，存在矩阵使得, 并求所有矩阵. （21）（本题满分11分） 设二次型记 . （Ⅰ）证明二次型对应的矩阵为； （Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为. （22）（本题满分11分） 设随机变量的概率密度为,令随机变量 （Ⅰ）求的分布函数； （Ⅱ）求概率. （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本. （Ⅰ）求的矩估计量； （Ⅱ）求的最大似然估计量.