2023-2024备战中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题及答案解析.docVIP

2023备战中考数学易错题专题复习-锐角三角函数练习题及答案解析 一、锐角三角函数 1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．? （1）求证：直线CP是⊙O的切线．? （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．? （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=， ∴ ∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x，则CF=5﹣x， 在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2， 在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2， ∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2， ∴x=3， ∴BF2=25﹣32=16， ∴BF=4， 即点B到AC的距离为4． 考点：切线的判定 2．问题背景: 如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求. （1）实践运用： 如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展： 如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 【答案】解：（1）． （2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′． ∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称． 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE． 则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ． 在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/=AB= 10， ∴． ∴BE+EF的最小值为 【解析】 试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值： 如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E， 根据垂径定理得弧BD=弧DE． ∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°． ∴∠C′AE=45°． 又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°． ∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=． ∴AP+BP的最小值是． （2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求． 3．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知：如图，是半圆的直径，弦，动点、分别在线段、上，且，的延长线与射线相交于点、与弦相交于点（点与点、不重合），，．设，的面积为． （1）求证：； （2）求关于的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，，联结后还有，再结合要证明的结论，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即即可； （2）根据∽，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】 （1）联结，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）作，交于， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴∽， ∴， ∴，当与点重合时， ∵， ∴，解得， ∴； （3）①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∵， ∴（舍去）； ③当时，∵， ∴， ∵≌， ∴， ∴， ∴，此时弦不存在，故这种情况不符合题意