考研数学三真题.docx

2018年全国硕士研究生入学一致考试数学（三）试题 一、选择题:1:8小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. 以下函数中，在x0处不行导的是（） (A) f x xsinx (B) f x xsin x (C) f x cosx (D) f x cos x 设函数f x 在0,1 1 x dx 0,则（） (2) 上二阶可导，且 0 f (A)当f (x) 1 0 (B) 当f (x) 0时,f( 1 0 0时,f( ) ) 2 2 (C) 当f(x) 1 0 (D) 当f (x) 0时,f( 1 0 0时,f( ) ) 2 2 2 xxdx,K (3) 设M 2 1 x2dx,N 21 2 1 cosxdx,则（） 2 1 x 2 e 2 (A)M N K (B)M K N (C)K M N (D) K N M (4) 设某产品的成本函数 C(Q)可导，此中Q为产量.若产量为Q0时均匀成本最小，则( ) (A) C(Q0) 0 (B) C(Q0) C(Q0) (C) C(Q0) Q0C(Q0) (D) Q0C(Q0) C(Q0) 1 1 0 (5) 以下矩阵中，与矩阵 0 1 1 相像的为（ ） 0 0 1 1 1 1 1 0 1 (A) 0 1 1 (B) 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 (C) 0 1 0 (D) 0 1 0 0 0 1 0 0 1 设A、B为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，X,Y表示分块矩阵，则（） (A)rA,AB  rA  (B)r  A,BA  rA (C)  (D)  rATBT X的概率密度f x满足f 1 x f1 2 0.6,则P X0（ （7）设随机变量 x,且fxdx ） 0 (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 (8) 设X1,X2,...,Xn(n2) 为来自整体N( , 2)( 0)的简单随机样本，令 X 1n Xi, ni1 S 1 n (XiX)2,S* 1n (Xi )2,则（ ） n 1i1 ni1 n(X ) (B) n(X ) 1) (A) S ~t(n) S ~t(n n(X ) (D) n(X ) 1) (C) S* ~t(n) S* ~t(n 二、填空题：9: 14小题,每题4 分,共24分. (9) 曲线y x2 2lnx在其拐点处的切线方程是 ________. (10) exarcsin 1e2xdx ________. 差分方程2yxyx5的通解是________. (12) 设函数fx满足fx x fx 2xfx xo x x 0,且f 02,则f1 ______. (13) 设A为3阶矩阵,a1,a2,a3是线性没关的向量组,若Aa1 a1 a2,Aa2a2 a3,Aa3 a1a3, 则A=__________. (14) 随机事件A,B,C互相独立,且PA PB PC 1,则P ACAUB __________. 2 三、解答题：15～23小题,共94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(此题满分10分) 1 已知实数a,b满足lim ax b ex x2,求a,b. x (16)(此题满分10分) 设平面地区D由曲线y 31 x2 与直线y 3x及y轴围成,计算二重积分 x2dxdy. D (17)(此题满分10分) 将长为2m的铁丝分红三段，挨次围成圆、正方形与正三角形 .三个图形的面积之和能否存在最小值？ 若存在，求出最小值. (18)(此题满分10分) 已知cos2x 1 anxn(1 x 1),求an. (1x)2 n0 (19)(此题满分10分) 设数列xn 满足：x1 0,xnexn1 exn 1(n1,2,L),证明xn收敛，并求limxn. n (20)(此题满分11分) 设实二次型f(x1,x2,x3)(x1,x2x3)2(x2x3)2(x1ax3)2,此中a是参数. 求f(x1,x2,x3)0的解； 求f(x1,x2,x3)的规范形. (21)(此题满分11分) 1 2 a 1 a 2 已知a是常数，且矩阵A=1 3 0 可经初等列变换化为矩阵 B=0 1 1. 2 7 a 1 1 1 (I)求a; 求满足APB的可逆矩阵P. (22)(此题满分11分) 设随机变量X与Y互相独立，X的概率分布为PX1PX 1 1,Y遵从参数为 的泊松分布. 2 令Z XY. (I) 求CovX,Z; 求Z的概率分布. (23)(此题满分11分) 设整体X的概率密度为 1 x f(x, ) e,x , 2 此中 (0, ) 为未知参数， X1 ,X2 ,L ,Xn 为来自整体 X 的简单随机样本记的最大似然预计量为 μ . .