2023-2024备战中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合.docVIP

2023备战中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．问题探究： （一）新知学习： 圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）． （二）问题解决： 已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M． （1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长； （2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值； （3）若直径AB与CD相交成120°角． ①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长； ②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值． （4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值． 【答案】（1）证明见解析，直径OP=2； （2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2； （3）①MN=；②证明见解析； （4）MN取得最大值2． 【解析】 试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2； （2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决； （3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN?sin∠MQN，从而可得MN=OP?sin∠MQN，由此即可解决问题； （4）由（3）②中已得结论MN=OP?sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决． 试题解析：（1）如图一， ∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2； （2）如图一， ∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形， ∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2； （3）①如图二， ∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M． ∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=； ②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长， 交⊙O′于点Q，连接QM，如图三， 则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°， 在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN?sin∠MQN，∴MN=OP?sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值． （4）由（3）②得MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN． 当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2． 考点：圆的综合题． 3．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a． （1）如图1，若m=． ①当OC=2时