2023-2024初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案.docVIP

2023初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过作交BC的延长线于E，连接，于是得到， ，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m， AB===120（m） （2）过作交BC的延长线于E，连接， 则， ， 在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°， DC=AC=20 DE=50 tan∠AD= tan∠DC=== 答：从无人机上看目标D的俯角的正切值是． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37?＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可； （2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在中，. 在中，，所以（海里）. 答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里. （2）过点作，垂足为，由题意易知，在一条直线上. 在中，，. 在中，， 所以. 所以. 设缉私艇的速度为海里/小时，则有，解得. 经检验，是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【点睛】 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 3．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想：=　 　，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析（2） （3） 【解析】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°． ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO． ∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）． （2）．证明如下： 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB． ∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB． ∴NB=NP． ∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE． ∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE． ∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF． ∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900． 又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=MF ，即BF=BM． ∴BF=PE， 即． （3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N， ∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900． 由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN． ∴． 在Rt△BNP中，， ∴，即． ∴． （1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE． （2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌