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2023全国备战中考数学锐角三角函数的综合备战中考真题分类汇总及详细答案
一、锐角三角函数
1.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2) 求证:∠ACF=90°;
(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.
图1 图2
【答案】(1)BE=FH ;理由见解析
(2)证明见解析
(3)=2π
【解析】
试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH
(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明
(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长
试题解析:(1)BE=FH.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°,
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF(SAS)
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH
∴CH=FH
∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线,∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=
Rt△ENA中,EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中,AE== EF,∴AF=8
AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·(90°÷360°)=2π
考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数
2.在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE= ∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图1).求证:△BOG≌△POE;
(2)通过观察、测量、猜想:= ,并结合图2证明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【解析】
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP , ∠BOC=∠BOG=90°.
∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO.
∴∠GBO=∠EPO .∴△BOG≌△POE(AAS).
(2).证明如下:
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900, ∠BPN=∠OCB.
∵∠OBC=∠OCB =450, ∴∠NBP=∠NPB.
∴NB=NP.
∵∠MBN=900—∠BMN, ∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE.
∴△BMN≌△PEN(ASA).∴BM=PE.
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF.
∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=900.
又∵PF=PF, ∴△BPF≌△MPF(ASA).∴BF=MF ,即BF=BM.
∴BF=PE, 即.
(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900.
由(2)同理可得BF=BM, ∠MBN=∠EPN.
∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN.
∴.
在Rt△BNP中,, ∴,即.
∴.
(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE.
(2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE,通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出的结论.
(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同(2)证得BF=BM, ∠MBN=∠EPN,从而可证得△BMN∽△PEN,由和Rt△BNP中即可求得.
3.问题背景:
如图(
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