四元数与欧拉角.pptx

四元数与欧拉角会计学第1页/共37页Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成n第2页/共37页1.1*四元数(quaternions)定义一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态转轴的方向可以表示成一个单位矢量: 则描述该转动的四元数可以表示成:四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值.---- 矢量部分 另一种表示法: , P 代表矢量部分第3页/共37页1.2 四元数的组成 四元数的表示：λ ----- 标量部分包括一个实数单位 1 和三个虚数单位 i, j, k 第4页/共37页Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成第5页/共37页2.1*加法和减法加法和减法： 或简写成： 对比 Hamilton 的公式第6页/共37页2.2 虚数单位的乘法规则i, j, k 在乘法运算中的规则: 或简单地表示成： 第7页/共37页2.3*四元数乘法第8页/共37页2.3 四元数乘法自定义函数function [q1]=qmul(q, m)lm=q(1); p1=q(2); p2=q(3); p3=q(4);q1=[lm -p1 -p2 -p3 p1 lm -p3 p2 p2 p3 lm -p1 p3 -p2 p1 lm]*m; a=[1 2 2 3]; b=[2 4 2 3]; q=qmul(a,b)q = -0.7796 0.3282 0.4924 0.2052 ※四元数乘法的符号第9页/共37页2.3*四元数乘法表示符号※关于交换率和结合律共扼四元数的定义 ------ 两个四元数的标量部分相同，向量部分相反--- 定义成 可以证明： 四元数的范数 若是规范化的, 则 q 成为规范化的四元数 第10页/共37页2.4*共扼和范数q 和 q* 彼此互为四元数.若则 q1 和 q2 彼此互为逆, 写为和因为除法:或没有具体意义第11页/共37页2.5*四元数的逆和除法function [qi] =qinv(q)% inverse of quaternionqn=norm(q);q(2:4)=-q(2:4);qi=q/qn^2;第12页/共37页Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成第13页/共37页3.1*矢量的旋转如果矢量 R 相对固定坐标系旋转, 并且该旋转可以用四元数 q 描述，新矢量记为 R’， 则 R 和 R’ 之间的变换可以表示成下述四元数运算:含义: 矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转的角度和轴向由 q 决定上述运算中, R 被当成一个标量部分为零的四元数，即：记： 和则分别称为 V 在两个坐标系中的映像.第14页/共37页3.2*坐标系的旋转一个矢量 V 相对于坐标系 OXYZ 固定 :从坐标系 OXYZ 转动了 q, 得到一个新坐标系 OX’Y’Z’ .V 分解在新坐标系 OX’Y’Z’ 中矢量 V 在两个坐标系之间的坐标变换:假设则第15页/共37页3.3 四元数和方向余弦---- 表示坐标系旋转, 其中q 和 C 之间是什么关系 ?应用四元数乘法, 得到方向余弦矩阵第16页/共37页3.3 四元数和方向余弦第17页/共37页3.4 四元数转动变换的两种形式 如果一个矢量 V 固定，坐标系旋转按照四元数 q 进行了旋转，得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达式间的关系借助映像方式可以表示为：如果一个坐标系固定, 一个矢量 VE 按照四元数 q 相对该坐标系进行了转动，得到一个新的矢量 VE’，则新旧矢量之间的关系为：第18页/共37页Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成q则合成后的转动四元数 q 可以表示成: 第19页/共37页4.0*转动四元数的合成连续的多次转动可以等效成一次转动.假设四元数 q1 和 q2 分别代表第一次和第二次坐标系旋转.q1q2其中 q1 和 q2 的轴必须表示成映像形式.若 q1 和 q2 的轴都表示在原来坐标系中, 则第20页/共37页4.1四元数合成例子: 非映像方式坐标系顺序旋转情况下四元数的合成坐标系 OX’Y’Z’ 相对坐标系 OXYZ 多次旋转首先, 绕 Z 轴转过角度 ψ, 瞬时转轴 n 和 k 轴重合, 则 第21页/共37页4.1 四元数合成: 非映像方式第二次旋转: 绕 X’ 转过角度θ, 旋转轴 n 表示为: 对应的四元数: 第22页/共37页4.1 四元数合成: 映像的方式这里 q1 和 q2 的转动轴表示为非映像的形式, 因此合成的四元数为:转动次数越多，合成后四元数的表达式会愈发复杂因此第23页/共37页4.2*四元数合