数学空间向量公式大全.docx

. . ;. ;. 空间向量知识点 空间向量的有关概念和公式 概念 空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间 如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。 坐 标 OA ? a ? (x , y , z )， OB ? b ? (x , y , z ) , 表示 1 1 1 2 2 2 AB ? (x 2 x , y 1 2 y , z 1 2 z ) ． AB ? ?BA 1 运算 则 a ? b ? (x 1 x , y 2 1 y , z 2 1 ? z ) ， a ? b ? (x 2 1 x , y 2 1 y , z 2 1 ? z ) ， 2 ?a ? (?x , ? y , ?z )(? ? R) ， a ?b ?| a || b | cos ? a,b ?? x x ? y y ? z z ， 1 1 1 1 2 1 2 1 2 定 比 设点P 分有向线段? 所成的比为λ ，即 PP ＝λ PP ， 分 点 1公式 x ? x 1 ?x 2 2 y ? ? y y ? 1?2 1 2 1 z ? ?z z ? 1 1 2 ? ? R且? ? 1 1? ? ， 1? ? x ? x ， 1? ? 2 （ ） y ? y z ? z 中点公式： x ? 1 2 ， y ? 1 2 ， z ? 1 2 2 2 2 x ? x ? x y ? y ? y z ? z ? z 三角形重心公式： x ? 1 2 3 ， y ? 1 2 3 ， z ? 1 2 3 3 3 3 模 A(x , y , z ) ， B(x , y , z ) ，则 AB ? (x ? x , y ? y , z ? z ) 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 | AB | = (x 1 ? x )2 ? ( y 2 1 ? y )2 ? (z 2 1 ? z )2 2 a = (x, y, z) ；| a | = x2 ? y2 ? z2 ；| a |2= a2 ; | a | = a 平行 a // b ? a ? ?b , a ? ?b , a ? ?b (? ? R) ， 1 1 2 2 3 3 x y z （或 1 = 1 = 1 ） x y z 2 2 2 垂直 a ? b ? x x ? y y ? z z ? 0 ．（ a ? 0, b ? 0 ） 1 1 2 2 3 3 夹角 a?b cos? = = x x ? y y ? z z 1 1 2 2 3 3 | a || b | x 2 ? y 2 ? z 2 x 2 ? y 2 ? z 2 1 1 1 2 2 2 建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为 x 轴，y 轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x 轴，y 轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x 轴， y 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为 x 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为 y 轴。 空间向量的应用（1） 1、求平面? 的法向量 方法分类 图形 若 AB ? (x , y , z )， AC ? (x , y , z ) ， AC ? AB ? A， 1 1 1 2 2 2 n AB, AC ? ? ,设n? ? (x, y, z) 是平面? 的法向量， ??n? ? AB ? 0 ? xx yy zz ? 0 B 则?? ? ? 1 1 1 α A C ??n ? AC ? 0 ?xx ? yy ? zz ? 0 2 2 2 （取 x ? x ，得到其中的一组解： n? 0 而 x , y , z 常取简单整数） 0 0 0 2、证明线面平行 ? (x , y , z ) 0 0 0 设n? 是平面? 的法向量， AB ? ? ，则： n A B AB || ? ? AB ? n? ? 0 α 3、证明面面垂直 设 n? 1 , n? 2 分别是平面?, ? 的法向量, 则： n n 2β1 2 β ? ? ? ? n? ? n? ? 0 1 2 α 4、求两条异面直线间的距离 先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上 ?? ? 两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a 、b 是异面直  n P E a ? ? ? ? ? 线，n 是a 、b 的公共法向量，点E ? a, F ? b ，则异面直 b ? EF ? n? α O F ?线a? 、b 之间的距离d ? ? n 5、求点到平面的距离 设 P 为平面? 外一点，点A 为平面? 内