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空间向量知识点
空间向量的有关概念和公式
概念 空间向量与平面向量的概念与性质相似,只是由二维平面拓展到三维空间
如果一个向量所在直线垂直于一个平面,则该向量是这个平面的一个法向量。
坐 标 OA ? a ? (x , y , z
), OB ? b ? (x , y , z ) ,
表示 1 1 1
2 2 2
AB ? (x
2
x , y
1 2
y , z
1 2
z ) . AB ? ?BA
1
运算 则 a ? b ? (x
1
x , y
2 1
y , z
2 1
? z ) , a ? b ? (x
2 1
x , y
2 1
y , z
2 1
? z ) ,
2
?a ? (?x , ? y , ?z )(? ? R) , a ?b ?| a || b | cos ? a,b ?? x x ? y y ? z z ,
1 1 1 1 2 1 2 1 2
定 比 设点P 分有向线段? 所成的比为λ ,即 PP =λ PP ,
分 点
1公式 x ? x
1
?x
2
2
y ? ? y
y ?
1?2
1
2
1
z ? ?z
z ?
1
1
2
? ? R且? ? 1
1? ? , 1? ?
x ? x
, 1? ? 2 ( )
y ? y z ? z
中点公式: x ? 1
2 , y ? 1 2 , z ? 1 2
2 2 2
x ? x ? x
y ? y ? y
z ? z ? z
三角形重心公式: x ? 1 2
3 , y ? 1 2
3 , z ? 1 2 3
3 3 3
模
A(x , y , z ) , B(x , y , z ) ,则 AB ? (x ? x , y ? y , z ? z )
1 1 1
2 2 2
2 1 2
1 2 1
| AB | = (x
1
? x )2 ? ( y
2 1
? y )2 ? (z
2 1
? z )2
2
a = (x, y, z) ;| a | = x2 ? y2 ? z2 ;| a |2= a2
; | a | = a
平行 a // b ? a ? ?b , a ? ?b , a ? ?b
(? ? R) ,
1 1 2 2 3 3
x y z
(或 1 = 1 = 1 )
x y z
2 2 2
垂直
a ? b ? x x ? y y ? z z
? 0 .( a ? 0, b ? 0 )
1 1 2 2 3 3
夹角 a?b
cos? = =
x x ? y y ? z z
1 1 2 2 3 3
| a || b | x 2 ? y 2 ? z 2
x 2 ? y
2 ? z 2
1 1 1 2 2 2
建立空间直角坐标系常用方法:1、底面是正方形,常以底面两条邻边为 x 轴,y 轴;2、底面是菱形,常以底面两条对角线为x 轴,y 轴;3、底面是等腰三角形,常以底边及底边上的高为x 轴, y 轴;4、底面为平行四边形,常以一条边为 x 轴,并作一条与这一条边垂直的直线作为 y 轴。
空间向量的应用(1)
1、求平面? 的法向量
方法分类 图形
若 AB ? (x , y , z
), AC ? (x , y , z ) , AC ? AB ? A,
1 1 1
2 2 2 n
AB, AC ? ? ,设n?
? (x, y, z) 是平面? 的法向量,
??n? ? AB ? 0
? xx
yy
zz ? 0 B
则?? ? ? 1 1 1
α A C
??n ? AC ? 0 ?xx ? yy ? zz ? 0
2 2 2
(取 x ? x ,得到其中的一组解: n?
0
而 x , y , z 常取简单整数)
0 0 0
2、证明线面平行
? (x , y , z )
0 0 0
设n? 是平面? 的法向量, AB ? ? ,则:
n A B
AB || ? ? AB ? n? ? 0
α
3、证明面面垂直
设 n?
1
, n?
2
分别是平面?, ? 的法向量, 则: n n
2β1
2
β
? ? ? ?
n? ? n? ? 0
1 2
α
4、求两条异面直线间的距离
先求两条异面直线的一个公共法向量,再求两条异面直线上
??
?
两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a 、b 是异面直
n
P E a
? ? ? ? ?
线,n 是a 、b 的公共法向量,点E ? a, F ? b ,则异面直
b
? EF ? n?
α O F
?线a? 、b 之间的距离d ?
?
n
5、求点到平面的距离
设 P 为平面? 外一点,点A 为平面? 内
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