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2021 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）
（科目代码：303）
（考试时间：上午 8:30-11:30）
考生注意事项
1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2021年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题
一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．
(1)当时,是的( )
(A)低阶无穷小.
(B)等价无穷小.
(C)高阶无穷小.
(D)同阶但非等价无穷小.
(2)函数在处( )
(A)连续且取得极大值.
(B)连续且取得极小值.
(C)可导且导数等于零.
(D)可导且导数不为零.
(3)设函数有个零点,则的取值范围为( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(4)设函数可微,且,则( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(5)二次型的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(6)设为阶正交矩阵,若矩阵,表示任意常数,则线性方程组的通解( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(7)已知矩阵,若下三角可逆矩阵和上三角可逆矩阵使得为对角矩阵,则,分别取( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(8)设为随机事件,且,下列命题中为假命题的是( )
(A)若,则.
(B)若,则.
(C)若,则.
(D)若,则.
(9)设为来自总体的简单随机样本.令,则( )
(A),.
(B),.
(C),.
(D),.
(10)设总体的概率分布为,利用来自总体的样本值可得的最大似然估计值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．
(11)若,则 .
(12) .
(13)设平面区域由曲线与轴围成,则绕轴旋转所得旋转体的体积为 .
(14)差分方程的通解 .
(15)多项式中项的系数为 .
(16)甲、乙两个盒子中有个红球和个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球,分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数,则的相关系数 .
三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本题满分10分)
已知存在,求的值.
(18)(本题满分12分)
求函数的极值.
(19)(本题满分12分)
设有界区域是圆和直线以及轴在第一象限围成的部分,计算二重积分.
(20)(本题满分12分)
设为正整数,是微分方程满足条件的解.(1)求;(2)求级数的收敛域及和函数.
(21)(本题满分12分)
设矩阵仅有两个不同的特征值,若相似于对角矩阵,求的值,并求可逆矩阵,使得为对角矩阵.
(22)(本题满分12分)
在区间上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为,较长一段的长度记为令.(1)求的概率密度;(2)求的概率密度;(3)求.
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