2008考研数学(一)真题.docx

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2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一) (科目代码:301) (考试时间:上午8:30-11:30) 考生注意事项 1.答题前,考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填(书)写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)设函数,则的零点个数为 (A). (B). (C). (D). (2)函数在点处的梯度等于 (A). (B). (C). (D). (3)在下列微分方程中,以 (为任意常数)为通解的是 (A). (B). (C). (D). (4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是 (A)若收敛,则收敛. (B)若单调,则收敛. (C)若收敛,则收敛. (D)若单调,则收敛. (5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵,满足,则 (A)不可逆,不可逆. (B)不可逆,可逆. (C)可逆,可逆. (D)可逆,不可逆. (6)设为阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方 程的图形如图所示,则的正特征值个数为 (A). (B). (C). (D). (7)设随机变量独立同分布,且的分布函数为,则的分布函数为 (A). (B). (C). (D). (8)设随机变量,且相关系数,则 (A). (B). (C). (D). 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)微分方程满足条件的解是 . (10)曲线在点处的切线方程为 . (11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为 . (12)设曲面是的上侧,则 . (13)设为2阶矩阵,为线性无关的维列向量,,则的非零特征值为 . (14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则 . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸指定位置上. (15)(本题满分9分) 求极限. (16)(本题满分9分) 计算曲线积分,其中是曲线上从点到点 的一段. (17)(本题满分11分) 已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点. (18)(本题满分10分) 设函数连续, (Ⅰ)利用定义证明函数可导,且; (Ⅱ)当是以为周期的周期函数时,证明函数 也是以为周期的周期函数. (19)(本题满分11分) 将函数展开成余弦级数,并求级数的和. (20)(本题满分10分) 设是3维列向量,矩阵,其中分别是的转置.证明: (Ⅰ); (Ⅱ)若线性相关,则. (21)(本题满分12分) 设元线性方程组 ,. (Ⅰ)证明行列式; (Ⅱ)当为何值时,该方程组有唯一解,并求; (Ⅲ)当为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解. (22)(本题满分11分) 设随机变量与相互独立,的概率分布为, 的概率密度为,记. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求的概率密度. (23)(本题满分11分) 设是总体为的简单随机样本.记 . (Ⅰ)证明是的无偏估计量. (Ⅱ)当时,求.

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