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2022年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）
（科目代码：303）
（考试时间：上午 8:30-11:30）
考生注意事项
1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2022年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题
一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．
（1）时，，是非零无穷小量，给出以下4个命题：
①若，则;
②若，则;
③若，则;
④若，则;
其中真命题是：（ ）
（A）①③. （B）①④.
（C）①③④. （D）②③④.
（2）已知，，则（ ）
（A）有最大值，有最小值.
（B）有最大值，没有最小值.
（C）没有最大值，有最小值.
（D）没有最大值，没有最小值.
（3）连续，,则（ ）
（A）.
（B）.
（C）
（D）
（4），，,则（ ）
（A）. （B）.
（C） （D）
（5）设为3阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是（ ）
（A）存在可逆矩阵，使得
（B）存在可逆矩阵，使得
（C）存在正交矩阵，使得
（D）存在可逆矩阵，使得
(6) 设矩阵，则线性方程组解的情况为（ ）
（A）无解 （B）有解
（C）有无穷多解或无解 （D）有唯一解或无解
(7) 设，若向量组与等价，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
(8) 设随机变量,且与不相关，则（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
(9) 设随机变量独立同分布,的概率密度,则依概率收敛于( )
（A）. （B）. （C）. （D）
(10) 二维随机变量的联合分布律为
已知事件与事件相互独立，则
（A）. （B）. （C）. （D）.
二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．
（11） 。
（12）
（13）设， .
（14）,求 .
（15）已知是阶矩阵，将第2行与第3行互换，再将第2列的-1倍加到第1列得矩阵，为的逆，则
（16）设为随机事件,且与互不相容，与互不相容，与相互独立,
,则______.
三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17） (本题满分10分)
设函数是微分方程的满足的解，求曲线的渐近线.
（18）(本题满分12分)
某单位产品产量Q由资本投入量x和劳动投入量决定，生产函数，销售单价与Q的关系.若单位资本投入和劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.
（19）(本题满分12分)
已知区域D为，计算.
（20）(本题满分12分)
求幂级数的收敛域及和函数
（21） (本题满分12分)
已知二次型，
（1）求正交变换化二次型为标准型；
（2）证明
（22）(本题满分12分)
设为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，利用样本，求的最大似然估计量，并求.
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