导数的双变量问题.docx

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试卷第 =page 1 1页,共 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页,共 =sectionpages 3 3页 导数的双变量问题 一、解答题 1.(2012·全国·高考真题(文))已知函数 (I)讨论的单调性; (II)设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上,求的值. 【答案】(I)见解析;(II)或或 【解析】 【详解】 (I), 当时,,当且仅当时,, 所以是上增函数; 当时,的两个根为, ,, , 综上所述,当时,单调递增区间是; 当时,单调递增区间是, 单调递减区间是; (II)由题设知,是方程的两个根, 故有,, 因此 , 同理, 因此直线的方程为, 设直线与轴的交点为,得, , 由题设知,点在曲线上,故, 解得或或 所以的值为. 【点睛】 本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是三次函数,通过求解导数,求解单调区间.另外就是运用极值的概念,求解参数值的运用. 2.(2022·宁夏·银川二中一模(理))已知函数,. (1)若,求函数的单调区间; (2)若,且,证明:. 【答案】(1)单调递增区间为,无单调递减区间 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)求得,分析导数的符号变化,由此可得出结论; (2)设,由已知得出,变形得出,设,将所证不等式转化为,构造函数,利用导数证明出对任意的恒成立,即可证得结论成立. (1) 解:依题意,. 令,则, 当时,,当时,, 故函数在上单调递减,在上单调递增,则,即, 故函数的单调递增区间为,无单调递减区间. (2) 证明:要证,即证. 依题意,、是方程的两个不等实数根,不妨令, 因为,故, 两式相加可得, 两式相减可得, 消去,整理得,故, 令,故只需证明,即证明, 设,故,故在上单调递增, 从而,因此. 故原不等式得证. 【点睛】 方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下: (1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数; (2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论; (3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数. 3.(2022·河南·模拟预测(文))已知函数的最小值为1. (1)求实数的值; (2)过点作图象的两条切线MA,MB,A(),B()是两个切点,证明:1. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)定义域为,函数有最小值,必然不单调,易求出极小值即最小值,代入可答案. (2)利用切线方程,消去得到的等式关系,将1变形得到,令构造函数,得证. (1) , 当≤0时,0,在单调递减,不合题意; 当0时,在()上,0,在()上,0. 在单调递减,在单调递增, 故的最小值为; (2) 证明:, 同理,, 两式相减得,不妨设, 要证1.只须证1.即, 即证,令,即证, 设,恒成立, 故h(t)为增函数,,故原式得证. 【点睛】 关键点睛:本题(2)问先通过切线方程得出,然后证明1,将问题转化成,利用与齐次换元,从而构造函数即可证明. 4.(2022·山东师范大学附中模拟预测)已知函数. (1)若有两个零点,的取值范围; (2)若方程有两个实根、,且,证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)分析可知,由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可求得实数的取值范围; (2)令,其中,令,,分析可知关于的方程也有两个实根、,且,设,将所求不等式等价变形为,令,即证,令,其中,利用导数分析函数的单调性,即可证得结论成立. (1) 解:函数的定义域为. 当时,函数无零点,不合乎题意,所以,, 由可得, 构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点, ,由可得,列表如下: 增 极大值 减 所以,函数的极大值为,如下图所示: 且当时,, 由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点, 故实数的取值范围是. (2) 证明:因为,则, 令,其中,则有, ,所以,函数在上单调递增, 因为方程有两个实根、,令,, 则关于的方程也有两个实根、,且, 要证,即证,即证,即证, 由已知,所以,,整理可得, 不妨设,即证,即证, 令,即证,其中, 构造函数,其中, ,所以,函数在上单调递增, 当时,,故原不等式成立. 【点睛】 方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下: (1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数; (2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论; (3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数. 5.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数

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