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基本不等式的应用
一、单选题
1.如图,公园里有一块边长为4的等边三角形草坪(记为),图中把草坪分成面积相等的两部分,在上,在上,如果要沿铺设灌溉水管,则水管的最短长度为(???????)
A. B. C.3 D.
2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y0,则,当且仅当时等号成立.根据权方和不等式,函数的最小值为(???????)
A.16 B.25 C.36 D.49
3.迷你KTV是一类新型的娱乐设施,外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间,近几年投放在各大城市商场中,受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你KTV的横截面示意图,其中,,曲线段是圆心角为的圆弧,设该迷你KTV横截面的面积为,周长为,则的最大值为( ).(本题中取进行计算)
A.6 B. C.3 D.9
二、解答题
4.某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元,除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x(,)台,若年产量不足70台,则每台设备的额外成本为万元;若年产量大于等于70台不超过200台,则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)当年产量为多少台时,年利润最大,最大值为多少?
5.已知,.
(1)求的最大值;
(2)求证:.
6.如图,圆内接四边形中,,,.
(1)求;
(2)求面积的最大值.
7.在中,角的对边分别为的面积为1.
(1)若,边上的高分别为,求;
(2)当取最小值时,求的周长.
8.某旅游公司在相距为的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船最大时速为,游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例,当游船速度为时,燃料费用为每小时60元.其它费用为每小时240元,且单程的收入为6000元.
(1)当游船以航行时,旅游公司单程获得的利润是多少?(利润收入成本)
(2)游船的航速为何值时,旅游公司单程获得的利润最大,最大利润是多少?
9.自2020新冠疫情爆发以来,直播电商迅猛发展,以信息流为代表的各大社交平台也相继入场,平台用短视频和直播的形式,激发起用户情感与场景的共鸣,让用户在大脑中不知不觉间自我说服,然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时,每年都举行多次大型线下促销活动,经测算,只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策,决定采用线上(直播促销)线下同时进行的促销模式,与某直播平台达成一个为期4年的合作协议,直播费用(单位:万元)只与4年的总直播时长x(单位:小时)成正比,比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C(单位:万元)与总直播时长x(单位:小时)之间的关系为(,k为常数).记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y(单位:万元).
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)该厂家直播时长x为多少时,可使y最小?并求出y的最小值.
10.已知一扇形的中心角是,所在圆的半径是R.
(1)若,,求扇形的弧长l及面积S;
(2)若扇形的周长是一定值C(),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?并求最大面积;
(3)若扇形的面积是一定值S(),当为多少弧度时,该扇形有最小周长?并求最小周长.
11.2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起,为控制疫情,让广大发热患者得到及时有效的治疗,武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示:矩形中,米,米,图中区域为诊断区(、分别在和边上),、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响,要求的大小为.
(1)若按照米的方案修建医院,问诊断区是否符合要求?
(2)按照疫情现状,病人仍在不断增加,因此需要治疗区的面积尽可能的大,以便于增加床位,请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大,并求出最大值.
12.函数图像过点,且相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,且,求面积的最大值.
13.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
14.某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽分别为多少?
15.近日,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡
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