0607线性代数试题及解答.docx

… … … … … … 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ … … 华南理工大学期末考试 … … 号 … 《 2006 线性代数 》试卷A 位 … 座 … 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）。 … 线 ?1 0 0 ? ? ? … 0．已知正交矩阵P 使得 PTAP ? ? 0 ?1 0 ?，则 PT A2006 (E ? A)P ? ? ??… ? 0 0 2 ? ? ? … … … 1．设 A 为 n 阶方阵， ? , ? ?????? , ? 是 A 的n 个特征根，则 det( A2 )= … 1 2 n … 业 … 2．设 A 是m ? n 矩阵， B 是m 维列向量，则方程组 AX ? B 有无数多个解的充分必要条 专… 件是： 专 … … … 3． … … … ) 封 二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分） 题 … 1． 答 … 院 不 … 2．若 A 为 m×n 矩阵， r( A) ? r ? n ， M ? {X | AX ? 0, X ? Rn }。则（ ）。学 内 … … A， M 是m 维向量空间， B， M 是n 维向量空间 线 … C， M 是 m-r 维向量空间， D， M 是 n-r 维向量空间 封 … 密 … 3．若 n 阶方阵 A 满足， A2 ( … =0，则以下命题哪一个成立（ ）。 …2… A， r( A) ? 0 ， B， r( A) ? n … 2 … …… C， r( A) ? n 2 ， D， r( A) ? n 2 … … 4．若 A 是 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。 … … A，矩阵 AT为正交矩阵， B，矩阵 A?1 为正交矩阵号 … 学 密 C，矩阵 A 的行列式是? 1， D，矩阵 A 的特征根是? 1 … … … 三、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分） … … 1．若 A 为 3 阶正交矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵， 求 det ( A* ) … … … 名 … 姓 … … … … … … … 2．计算行列式 2．计算行列式 。 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 3．设 3．设 A ? ? 2 ? 0 ? ? 0 2 0 0 0 ? 0 ? , ? AB ? A ? B ，求矩阵 B。 ? 1 ? ? 5、求向量? =（1，2，1）在基? ? (1,1,1), ? ? (0,1,1), ? ? (1,?1,1) 下的坐标。 四、 四、（12 分）求方程组 ? ?x ? x ? 2x ? x ? x ? 2 ? ?3x ? x ? 2x ? 7x ? 3x ? 2 1 2 3 4 5 的通解（用基础解系与特解表示）。 ? ?x ? 5x ?10x ? 3x ? x ? 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 五、 五、（12 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 f f (x , x , x ) ? 2x x ? x2 ? x2 ? 2x x 1 2 3 1 2 2 3 1 3 六、证明题（6 分） 六、证明题（6 分） 设? ? 0 ， ? ,? , 1 2 ,? 是线性方程组 AX ? ? 对应的齐次线性方程组一个基础解系， r ? 是 线性方程组 AX ? ? 的一个解，求证? ??,? ??, 1 2 ,? ??,? 线性无关。 r 《 《2006 年线性代数 A》参考答案 — 填空题 — 填空题 (1) 2 0 -22006 (2) (2) λ 2··λ 2 1 n (3) r(A)=r(A,B) n (2)? (a (2) ? (a ? 3)(a ? 1)3 ? ? 1 ( A ? E ) ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 2 1 0 0 ? 0 ? ? 1 ? 3 ? 2 3 0 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 3 ? 1 ? ? 3 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? , ? ? ? 1 3 2 3 0 ? ? ? ? 4 3 ? 2 3 0 B ? ? ? ? ? ? 2 3 0 ? 1 3 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 3 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 ? ? 0 1 1 2 ? ?2 ? 0 (4) (4) t=-8 (5) (5) 1,2,-3 二 选择题 (1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三 解答题 三 解答题 (1) A·A (1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3| |A |A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1 a 1 1 1 1 1 1