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【配套新教材】(9)空间向量及其运算的坐标表示
---高考数学一轮复习
空间向量与立体几何能力进阶加时练
1.向量,,若,且,则的值为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
2.设,分别是平面,的法向量,若,则实数t的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知,,且,则( )
A., B., C., D.,
4.如图所示,在长方体中,,,E,F分别是面,面的中心,则E,F两点间的距离为( )
A.1 B. C. D.
5.在正方体中,向量与向量的夹角是( )
A.150° B.135° C.45° D.30°
6.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为,BC的中点,则( )
A.2 B.-2 C. D.
7.在棱长为1的正方体中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足,则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. (多选)已知向量,,则下列结论中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.不存在实数,使得
D.若,则
9. (多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果,,,则下列结论正确的有( )A. B.
C.是平面ABCD的一个法向量 D.
10. (多选)已知向量,,,下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.在直三棱柱中,,,,,D为的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),的坐标是________,的坐标是__________.
12.已知,,且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是_________.
13.已知,,若,,且平面ABC,则___________.
14.已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界),则的取值范围是____________.
15.如图,在正四棱锥中,,点M为PA的中点,.若,则实数__________.
答案以及解析
1.答案:C
解析:,,解得.
由,得,
解得,,故选C.
2.答案:B
解析:因为,所以,则,解得,故选B.
3.答案:B
解析:由题意可得,,.
,,使,
得解得故选B.
4.答案:C
解析:以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则点,,所以,故选C.
5.答案:B
解析:如图,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,则,,,,
,,,
向量与向量的夹角是135°.
6.答案:B
解析:如图,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,故选B.
7.答案:A
解析:如图,建立空间直角坐标系,则,,,
是底面ABCD(含边界)上一动点,设,
则,,,,
,
当时,取最小值,此时线段的长度为;
当或时,取最大值2,此时线段的长度为,
线段长度的取值范围是.故选A.
8.答案:AC
解析:由得,
解得,故A选项正确;由
得,解得,故B选项错误;
若存在实数,使得,则,
,,显然无解,
即不存在实数使得,故C选项正确;
若,则,解得,
于是,故D选项错误.
9.答案:ABC
解析:,,,A对;
,,,B对;
,,,平面ABCD,
是平面ABCD的一个法向量,C对;
,设,即方程组无解,D错.
故选ABC.
10.答案:BCD
解析:易得.
,,所以A选项错误;
,所以,所以B选项正确;
,所以C选项正确;
,
即,,所以D选项正确.
故选BCD.
11.答案:;
解析:如图建系,则,,,,.为的中点,,.
12.答案:
解析:与b的夹角为钝角,
,解得.由题意得a与b不共线,则,解得,的取值范围是.
13.答案:
解析:已知,由题意,可得,.利用向量数量积的运算公式,可得解得.
14.答案:
解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则,,.
设.
则,,
.
,当,时,有最小值.
当点P取,,,时,有最大值1.
的取值范围是.
15.答案:4
解析:连接AC,交BD于点O,连接OP,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,,
设,则.
,,,,
,
,,解得.
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