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参数分离法
参数分离方法是函数与导数中一种非常重要的技巧,它的出现意味着我们可以避免繁杂的分类讨论,因为含参分类讨论从高一到最后一直都是很多学生无法逾越的鸿沟!当然,分离参数也并非万能的,一方面分参意味着不含参数的函数可能异常复杂,讨论起来有点麻烦,甚至需要极限(洛必达法则),另一方面则是因为像恒成立问题分参,需要讨论正负号这些学生很容易忽视!不过,个人觉得分参是处理含参问题的一把利器,它确实要比分类讨论操作起来容易一些,我们应该多加练习力求掌握.
一.基本原理
1.零比零()型,即趋向于某数时,分子、分母趋向于零.
若函数和满足下列条件:
(1);
(2)在点的某去心邻域内两者都可导,且;
(3)且(可为实数,也可为),那么:
.
2.无穷比无穷()型,即趋向于某数时,分子、分母趋向于无穷.
若函数和满足下列条件:
(1);
(2)在点的某去心邻域内两者都可导,且;
(3)且(可为实数,也可为),那么:
.
二.典例分析
1.分离参数法解决恒成立问题
例1.(2020全国1卷)已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
解析(2)当时,恒成立,当时,恒成立分离参数之后等价于,求导可得:,一方面由于(易证,略),故,代入得:.
习题1.已知函数,,若,且对任意恒成立,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
解析:,即.由于对任意恒成立,
所以,即.令,,.令,,
所以在上单调递增,所以,可得,所以在上单调递增.所以. 又,所以.
故选:B.
2.分离参数法解决零点问题
例2.(2022乙卷)已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在区间各恰有一个零点,求a的取值范围.
注:这道题目分参过后就引入了洛必达法则,其难度很大!
习题2.(2018全国2卷改编)已知函数()有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:令,显然,所以,
令(),则问题转化为“若图象与图象有三个交点,求的取值范围”.,令,解得,当或时,,在,单调递增,当时,,在单调递减,
在处取极小值,作出的简图,由图可知,要使直线与曲线有三个交点,则,故实数的取值范围是.故选:C.
3.参变办分离(分离直线)
在利用分离参数时,我们可以使用参变半分,即分离直线的形式来处理.
例3.设函数,其中 ,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是(?????)
A. B. C. D.
解析:设,,
由题意知,函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,
,当时,;当时,.
所以,函数的最小值为.
又,.
直线恒过定点且斜率为,
故且,解得,故选D.
三.习题演练
习题1.已知函数与的图象上存在关于直线对称的点,若点,分别在,的图象上,则当取最大值时,的最小值是( )
A. B. C. D.
解析:由题可知,曲线与有公共点,即方程有实数解,即有实数解,令,则,所以当时,;当时,,故时,取得极大值,也是最大值,所以,所以,即的最大值为,
此时,设直线与函数的图象相切于点,如图,因为,所以,所以,解得,所以切线方程为,易求得平行线与
之间的距离为,即的最小值为.
习题2. 已知函数.,若方程在有且只有两个解,求实数的取值范围.
解析:.
在上有两个零点,即关于方程在上有两个不相等的实数根.
令,,则.
令,,则,
显然在上恒成立,故在上单调递增.
因为,所以当时,有,即,所以单调递减;
当时,有,即,所以单调递增.
因为,,,
所以的取值范围是.
习题3. 已知函数若当时,不等式恒成立,求的取值范围
解析:由题意可知当时,恒成立,此时
当时,,设,
设,此时
,此时
恒成立,恒成立
在上单调递增
但是当时,型,用洛必达法则;
根据洛必达法则可知
所以的取值范围是
习题4.已知在上恒成立,求的取值范围
解析:当时,恒成立,此时,当时,
设
设,此时单调递增,且
在上恒增又时,型,所以使用洛必达法则
根据洛必达法则,可得所以的取值范围是
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