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立体几何的动态问题之二 翻折问题 立体几何动态问题的基本类型: 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 、面动问题（翻折问题）： （一） 学生用草稿纸演示翻折过程 ： （二） 翻折问题的一线五结论 一线：垂直于折痕的线即 DF _AE. 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2） . DHF是二面角D - H - F的平面角; 3） D在底面上的投影一定射线 DF 上; 4） 点D的轨迹是以H为圆心，DH为半径的圆; 5） 面ADE绕AE翻折形成两个同底的圆锥. 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（ 2016 年联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB=、2，CD=CB= , 5，且 AD _ AB， 现将△ ABD沿对角线BD翻折成 ABD，则在 ABD折起至转到平面 BCD的过程中, 直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为 . 解：由题意知点 A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点 A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以 3 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯 1 的错误丄进行分析，找出错误的原因。 2 2、2015年10月浙江省学业水平考试 18）.如图，在菱形ABCD中，/ BAD=60°，线段AD， BD的中点分别为E，F。现将△ ABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE与CF所成角的取 值范围是 A.B.D.C.(昇分析：这是了空间立体几何线线角的求法。方法一：特殊值法（可过 F作FH平行 方法二：定义法：利用余弦定理：道非常经典的学考试题,2 2 2FH 2 - FC -CH 2 cos._FHC =2FH [FC「4曲24 3.cos_CFH—1 1异面直线 A. B. D. C.(昇 分析：这是 了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过 F作FH平行 方法二：定义法：利用余弦定理： 道非常经典的学考试题, 2 2 2 FH 2 - FC -CH 2 cos._FHC = 2FH [FC 「4曲2 4 3 .cos_CFH —1 1异面直线 1 22」 BE与CF所成角的取值范围是 方法三：向量基底法: [FC =1（Ba 2 BE BD)_FC」BA_FC 二》(BF FA)_FC 2 2 cos 总 FC Jcos 启寓「1,1 2 ] 2 2_ 方法四：建系: 3、（ 2015年浙江?理8）如图，已知 ABC , D是AB的中点, 沿直线 CD将」ACD折成 A. ADB _ ： B. ADB _ ： C. ACB _ ： D. ACB : 特殊值定义法作出二面角，在进行比较。方法 方法 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题 特殊值 定义法作出二面角，在进行比较。 4、（14年1月浙江省学业学考试题） 如图在 Rt△ ABC中，AC = 1，BC =x，D是斜边AB的中点，将△ BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程 中存在某个位置，使得 CB丄AD，则x的取值范围是（A ） A ? （0, 3] B. -2-, 2 C . （ 3, 2 3] D. （2, 4] 方法一：利用特殊确定极端值 方法二：在厶DAB中利用余弦定理转化为.BDA的函数求解。 方法三：取BC的中点E,连接EA,ED在DEA中利用两边之和大于第三边求解。 （二）翻折之后的求值问题 5、（ 2016届丽水一模13）已知正方形ABCD，E是边AB的中点，将△ ADE沿DE折起 至ADE，如图所示，若 A CD为正三角形，则 ED与平面 A DC所成角的余弦值是 6、（2016届温州一模 8）如图，在矩形 ABCD 中, AB =2，AD =4，点E在线段AD上且AE =3，现分别沿BE,CE将 ABE^ DCE翻折, 使得点D落在线段 AE上，则此时二面角 D-EC-B的余弦值为（D ） 三、课后练习 1、（ 2012年浙江10）已知矩形ABCD，AB=1，BC= - 2。将 ABD沿矩形的对角线 BD所 在的直线进行翻折，在翻折过程中 在的直线进行翻折，在翻折过程中 B ) 存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线AC与直线BD 存在某个位置，使得直线 存在某个位置，使得直线 存在某个位置，使得直线 AC与直线BD垂直. AB与直线CD垂直. AD与直线BC垂直. D.对任意位置，三对直线 AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 2（ 2009年浙江17）如图，在长方形 ABCD中, AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端 点除外