2009考研数学（二）真题.doc

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码：302） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）函数的可去间断点的个数为 （A）1． （B）2． （C）3． （D）无穷多个． （2）当时，与是等价无穷小量，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （3）设函数的全微分为，则点 （A）不是的连续点． （B）不是的极值点． （C）是的极大值点． （D）是的极小值点． （4）设函数连续，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （5）若不变号，且曲线在点处的曲率圆为，则函数 在区间内 （A）有极值点，无零点． （B）无极值点，有零点． （C）有极值点，有零点． （D）无极值点，无零点． （6）设函数在区间上的图形如图所示，则函数 123 1 2 3 -1 1 2 23 2 3 1 -1 -1 1 2 3 1 -1 1 231 2 3 1 -1 1 2 3 1 -1 -1 1 （C） （D） （7）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩 阵的伴随矩阵为 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若 ，则为 （A）． （B）． （C）． （D）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）曲线在处的切线方程为 ． （10）已知,则 ． （11） ． （12）设是由方程确定的隐函数，则 ． （13）函数在区间上的最小值为 ． （14）设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于， 则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 求极限． （16）（本题满分10分） 计算不定积分 ． （17）（本题满分10分） 设，其中具有二阶连续偏导数，求与． （18）（本题满分10分） 设非负函数满足微分方程．当曲线 过原点时，其与直线及围成的平面区域的面积为2，求绕轴 旋转所得旋转体的体积． （19）（本题满分10分） 计算二重积分，其中． （20）（本题满分12分） 设是区间内过的光滑曲线．当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足．求函数 的表达式． （21）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在 ，使得； （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且， 则存在，且． （22）（本题满分11分） 设，， （Ⅰ）求满足，的所有向量； （Ⅱ）对（I）中的任意向量，证明线性无关． （23）（本题满分11分） 设二次型． （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值．