高中数学（北师大版）必修四教案：3#46;3例题讲解：三角恒等变形应用举例.doc

高中数学（北师大版）必修四教案：3.3 例题讲解：三角恒等变形应用举例 例题讲解:三角恒等变形应用举例 ,nsin(3)cos()tan()cot(),,,，xxxx,,,2,例1,已知 fxnZ(),(),,cos()nx,, 52,(,)求 f();3 34,(,)若,,求的值( cos(),,f(),25 ,分析,求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算( ,略解,当时， nknZ,,2() ,sincostancotxxxxfxx()sin;,,, cosx ,,sincostan(tan)xxxx2 当时， fxxx()sintan.,,,nkkZ,，,21()cosx 34,？,,,？,, cos()sin,sin.,,,25 故当n为偶数时， 525243,,,,,,,,f()sinsin,3332 4,,,f()sin;,,5 当n为奇数时， 5252524433,,,,,22,,,,,f()sintan.sintan,333332 2sin9,2,,,,,,f()sintansin.,,,,2cos16, 3sinsin3,,，,例2,已知求的值( tan3,,,3coscos3，,, ,分析,已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路:考虑已知式 与待求式之间的相互转化( 33sin(3sin4sin),,,，,,略解,原式, 33cos(4cos3cos)，,,,, 2sin(32sin),,,,32cos, 22sin(sin3cos)，,,,,3 2cos, 12,，tan(tan3),,2 ,18. 21,例3,已知,,,,，,,, sin(),sin().35 (,)求的值; tancot,, ,,,,(,) 当，,,,,,(,),(,)时，求的值( ,,,,sin2,2222 ,分析,从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向( ,略解,(1) 2,sincoscossin,，,,,,,,,3,1,sincoscossin,,, ,方法1, ,,,,,5, 137,,,sincos,cossin.,,,,3030 sincos13,, 从而， ,,tancot.,,cossin7,, sincos,, ,方法2,设 ,,xtancot,,,cossin,, sin()10,,，？,,且sin()3,,, sin()，,,sin()tantan，，coscos,,,,,, ,,sin(),sin()tantan,,,,,,,, coscos,, tan,，1x，1tan,,,,tanx,1,,1tan, x，11013,,？,,,,,tancot.x x,137 (2)由已知可得 sin2sin[()()],,,,,,，,, ,，,,，,sin()cos()cos()sin(),,,,,,,, 465,,.15 11 [例4]已知求的值. ,,,,，,,,cos(),cos(),tantan,,22 sinsin,,[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出,tantan,,coscos,, 和，问题即可迎刃而解. sinsin,,coscos,, [略解] 1,coscossinsin,,,,,,,,,2,1,coscossinsin,，, ,,,,,3, 51,,,,coscos,sinsin.,,,,1212 sinsin1,, ？,,,tantan.,,coscos5,, [点评] 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。 11,,,,,,,,[例5]已知sincos,cossin,求的值. sin(),,，23 [分析]要想求出的值，即要求出的值，而要出现sin(),,，sincoscossin,,,,， 和，只需对条件式两边平方相加即可。 sincos,,cossin,, [ 略解 ] 将两条件式分别平方，得 122,,,,,，,sin2sincoscos,4 122,，,cos2cossinsin.,,,,9将上面两式相加，得 13,，,,,22sin(),36 59,，,sin().,,72 2[ 例6]已知方程有两根，求的最tan,tan,,tan(),,，mxmxm，,，,,(23)(2)0小值. [分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。 tan(),,， [ 略解] tantan3,,，,m tan().，,,,,1tantan2,,, m,0,,又 ,2 ,,,,,(23)4(2)0,mmm, 933,m解得 mm,,,0.且？,,. 424 3,。故 的最小值为 tan(),,，4 ,,,,,3335,,,,,,，,[例7]已知求的值. 0,,cos(),sin(),,,,,sin(),,，44445