饶平县第三中学高中数学 第2章 平面解析几何 2.7 2.7.1 抛物线的标准方程学案 新人教B版选.docVIP

2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 学 习 任 务 核 心 素 养 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点) 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防迫击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看迫击炮的弹道曲线． 知识点1　抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 1．平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ [提示]　不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线． 1．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆　　B．双曲线　　　C．抛物线　　　D．圆 C　[方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|可化为eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5)，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．故选C．] 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) x＝－eq \f(p,2) y2＝－2px(p＞0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) x2＝2py(p＞0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝－eq \f(p,2) x2＝－2py(p＞0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) y＝eq \f(p,2) 2．确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负． 3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离． (　　) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定． (　　) [答案]　(1)√　(2)√ [提示]　(1)√　抛物线的标准方程中p(p＞0)即为焦点到准线的距离． (2)√　一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上． 3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A．eq \f(1,8)　　B．－eq \f(1,8)　　　C．8　　　D．－8 B　[由y＝ax2，得x2＝eq \f(1,a)y，eq \f(1,4a)＝－2，a＝－eq \f(1,8)．] 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6，6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． [解]　(1)由于点M(－6，6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3． ∴抛物线的方程为y2＝－6x． 若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为x2＝6y． 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y． (2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F(2，0)， ∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是y2＝8x． ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y． 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y